Es $\varphi(n)/n$ la porción máxima de $n$ -ciclos en un grado $n$ ¿Grupo?

Question

Sea $G$ ser un grado $n$ es decir, un subgrupo del grupo simétrico $S_n$ . Sea $p(G)$ sea el número de $n$ -ciclos en $G$ dividido por el tamaño de $G$ .

Ejemplos:

1. Si $G$ es un grupo cíclico transitivo, entonces $p=\varphi(n)/n$ .
2. Si $G=S_n$ entonces $p=1/n$ .
3. (Si $G$ no es transitivo, entonces $p=0$ )

La cuestión es si $p(G)\leq \varphi(n)/n$ para cada grado $n$ ¿Grupo?

Nota:

1. Se puede ver que $p(G)=k/n$ donde $k$ es el número de clases de conjugación de $n$ -ciclos, por lo que la respuesta es SÍ si $n$ es primo.
2. Las pruebas numéricas muestran que la respuesta es SÍ para $n\leq 30$ y para los grupos primitivos para $n\leq 1000$ .
3. Hay grupos no cíclicos que alcanzan el límite $\varphi(n)/n$ por ejemplo, el producto corona de grupos cíclicos.

Edición: Recientemente Joachim König ha resuelto esto utilizando la clasificación tanto en la base de inducción como Michael Giudici mencionó y también en el paso de inducción. Supongo que debemos esperar a que el papel que ahora está en proceso de arbitraje.

Answer 1

Es cierto para todos grupos primitivos : Los grupos primitivos de grado n que contienen un n-ciclo fueron clasificados independientemente en

Li, Cai Heng Los grupos de permutaciones primitivas finitas que contienen un subgrupo regular abeliano . Proc. London Math. Soc. (3) 87 (2003), no. 3, 725--747. )

y

Jones, Gareth A. Subgrupos regulares cíclicos de grupos de permutación primitivos . J. Group Theory 5 (2002), no. 4, 403--407.

Son los grupos G tales que

- $C_p\leqslant G\leqslant AGL(1,p)$ para p un primo

- $A_n$ para n impar, o $S_n$

- $PGL(d,q)\leqslant G \leqslant P\Gamma L(d,q)$ : aquí existe una clase única de subgrupos cíclicos generados por un n-ciclo excepto para $G=P\Gamma L(2,8)$ en cuyo caso hay dos.

- $(G,n)=(PSL(2,11),11), (M_{11},11), (M_{23},23)$

Todos estos grupos cumplen el límite.

Gordon Royle me ha señalado que el límite no se cumple para elementos de orden n. Los ejemplos más pequeños que no cumplen el límite son de grado 12 y son los grupos numerados 263 y 298 en el catálogo de grupos de grado 12 de Magma.

Answer 2

Esta respuesta existe para dejar constancia de un falso planteamiento que tuve.

Sea $G$ sea un subgrupo de $S_n$ . Llamamos subgrupo de $G$ "cíclico máximo" si está generado por un $n$ -ciclo. Declaración falsa : Dos subgrupos máximamente cíclicos cualesquiera son conjugados.

Esto es cierto en varios casos e implica el resultado reclamado. Sin embargo, como me hizo ver Dimitri, es falso para el grupo alterno $A_9$ .

Antes tenía una respuesta más larga explicando esto. La borré y la sustituí por esta respuesta porque recibió un upvote que, según tengo entendido, eliminó esta excelente pregunta de la lista de preguntas sin respuesta. Así que, POR FAVOR, ¡NO VOTEIS ESTO ARRIBA! A ver si a alguien se le ocurre una respuesta real.