La independencia por pares + una condición adicional implican independencia

Question

Sea $(\Omega,\mathcal F, P)$ sea un espacio de probabilidad tal que para cada suceso $A\in\mathcal F$ los acontecimientos que son independientes de $A$ forman un álgebra $\mathcal B_A$ ( $\Omega\in\mathcal B_A$ ). Independencia a $A$ lo que implica (espero entenderlo bien) que para cada finito $\mathcal C\subseteq\mathcal B_A$ $$P\left (A\cap\bigcap_{C\in\mathcal C}C\right ) = P(A)\prod_{C\in\mathcal C} P(C)\tag{1}\label{eq:1} $$

Sea $A_1,A_2,A_3\in\mathcal F$ sean sucesos independientes entre sí. Demuestre que, de hecho, son sucesos independientes. Queda por verificar $$P(A_1\cap A_2\cap A_3) = P(A_1)P(A_2)P(A_3). $$

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Una observación rápida (quizás insignificante) es que $A\notin\mathcal B_A$ (porque $P(A) = P(A\cap A)\neq P(A)P(A)$ ).

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Una idea era utilizar el hecho de que $\Omega\in \mathcal B_{A_1\cap A_2}$ por aditividad $$P(A_1\cap A_2\cap (A_3\cup A_3^c)) = P(A_1\cap A_2\cap A_3)+P(A_1\cap A_2\cap A_3^c) = P(A_1)P(A_2) $$ Del mismo modo obtenemos:
$$P(A_1\cap A_2\cap A_3)+P(A_1\cap A_2^c\cap A_3) = P(A_1)P(A_3)\\ P(A_1\cap A_2\cap A_3)+P(A_1^c\cap A_2\cap A_3) = P(A_2)P(A_3) $$ Ahora podríamos utilizar de nuevo la aditividad y calcular la probabilidad de $$(A_1^c\cap A_2\cap A_3)\cup (A_1\cap A_2^c\cap A_3)\cup (A_1\cap A_2\cap A_3^c) $$ mi aritmética de conjuntos es una completa basura, así que no sé si obtenemos lo que necesitamos aquí. En realidad no he invocado $\mathcal B_{A}$ ser un álgebra en cualquier lugar, así que estoy un poco atascado.

¿Hay alguna idea, alguna pista sobre cómo proceder o replantear mi estrategia?

Answer 1

Creo que la definición de ${\mathcal B}_A$ los acontecimientos que son independientes de $A$ , debe ser $$ {\mathcal B}_A:=\{ B\in {\mathcal F}: P(A\cap B)=P(A)P(B)\}.\tag{1} $$ Si esto es lo que se pretende (y puedo estar equivocado al respecto), entonces la afirmación es fácil de demostrar. Se nos da que $A_1, A_2, A_3$ son independientes entre sí. En particular $A_1$ es independiente de $A_2$ y $A_1$ es independiente de $A_3$ . Por $(1)$ Esto significa que tanto $A_2$ y $A_3$ son miembros de ${\mathcal B}_{A_1}$ . Pero por supuesto ${\mathcal B}_{A_1}$ es un álgebra, lo que significa que $A_2\cap A_3$ también es miembro de ${\mathcal B}_{A_1}$ y por lo tanto por $(1)$ $$ P(A_1\cap (A_2\cap A_3))=P(A_1)P(A_2\cap A_3). $$ Por último $P(A_2\cap A_3)=P(A_2)P(A_3)$ se deduce de la independencia por pares de $A_2$ y $A_3$ .