Relación entre los caracteres de representación virtual de Deligne-Lusztig y las funciones de Green

Question

Tengo 2 preguntas - la primera es a qué se refiere el título, y la segunda es algo sobre lo que quiero una referencia (pensé en incluirlas en un solo post ya que están muy relacionadas). Lo siento este post es un poco largo, he intentado poner tanto como detalle como pude ..

$1$ -primera pregunta: Sólo me interesa el grupo $GL_n(F_q)$ . En el libro de Carter "Finite Groups of Lie Type: Conjugacy Classes and Complex Characters", en el capítulo 7 "The generalized characters of Deligne-Lusztig", la construcción de las representaciones virtuales $R_{T, \theta}$ como sumas alternas de $l$ -de las variedades de Deligne-Lusztig, y en el capítulo dedicado a ellas se demuestran una serie de fórmulas ( $T$ un toroide, y $\theta$ un personaje de $T^{F}$ ). Dice que si $\theta \in \widehat{T^{F}}$ está en posición general, entonces $\pm R_{T, \theta}$ es irreducible. Se da la siguiente fórmula (también en http://en.wikipedia.org/wiki/Deligne%E2%80%93Lusztig_theory ), donde $g=su=us$ , $s,u$ siendo las partes semisimples y unipotentes, y $Q_{T}(u) = R_{T, 1}(u)$ , $C^{0}(s)$ siendo la componente conexa identidad del centralizador de $s$ y $F$ el endomorfismo de Frobenius.

$R_{T, \theta}(g) = \frac{1}{ | C^{0}(s)^{F} |} \sum_{ x \in G^{F}, x^{-1}sx \in T^{F} } \theta ( x^{-1} s x) Q_{x T x^{-1}}^{C^{0}(s)} (u)$

El libro dice entonces que $Q_{T}(u)$ es una función de Green, depende sólo del toroide (entiendo que no cambiará si conjugamos el toroide en $G^F$ o bien corresponde esencialmente a un elemento de $S_n$ para el grupo lineal general de tamaño $n$ (que es lo que más me interesa, a menos que me equivoque). El libro no da una fórmula explícita para estos $Q_{T}(u)$ pero proporciona relaciones de ortogonalidad, etc. Lo que busco son fórmulas explícitas:

Pregunta : ¿Cuál es una fórmula explícita para estos $Q_{T}(u)$ ? ¿Cómo se relaciona esto con la función de Green que he estado estudiando en el libro de Macdonald "Symmetric Functions and Hall polynomials", en el capítulo "Characters of $GL_n$ sobre un campo finito", es decir, ¿cómo expreso el carácter $\pm R_{T, \theta}$ como una suma de los caracteres irreducibles descritos por las funciones de Green en el libro de Macdonald (o un único carácter irreducible en el caso en que $\theta$ está en posición general)?

En ese libro, he aprendido que los polinomios corresponden a funciones simétricas $S_{\lambda}$ a través de una correspondencia que asigna $A$ las sumas del anillo de representación de para todo $n$ a $B$ un álgebra generada por funciones simétricas elementales en variables independientes $X_{i,f}$ ( $f$ abarca todos los polinomios irreducibles en $\mathbb{F}_{q}[t]$ ). Siento estar siendo un poco vago aquí - llevaría páginas definir con precisión toda la notación que Macdonald utiliza en su libro; siéntase libre de trabajar con cualquier definición explícita alternativa de estas funciones de Green (pero por favor incluya una referencia para que yo sepa dónde buscarla).

$2$ -y pregunta: He ojeado el libro de Carter y el de Digne&Michel sobre el mismo tema, pero no he podido encontrar una referencia que dé las matrices de representación de estas representaciones virtuales $\pm R_{T, \theta}$ de estos grupos finitos de tipo Lie (el hecho de que se definan con suma alternante complica un poco las cosas). No me interesan tanto las entradas de las matrices representativas como tales, sino una construcción para el módulo que permita encontrar las matrices representativas. ¿Alguien puede sugerir una buena referencia para esto? Lo más parecido que encuentro es el libro original de Lusztig "Characters of reductive groups over finite fields", donde menciona que $l$ -Se puede usar la homología de intersección adica como sustituto (esto fue por lo que puedo ver en la vista previa de googlebooks); pero he oído que este libro es horrible para aprender, y no estoy del todo seguro de si lo que se da allí es lo que estoy buscando (no tengo una copia del libro en la actualidad).

Answer 1

La función Green $Q_T(u)$ es el valor del carácter Deligne-Lusztig $R_T^\theta$ en $u$ (un elemento unipotente), que resulta no depender de $\theta$ de ahí la notación. Clases de conjugación de toros racionales en $GL_n$ están parametrizadas por clases de conjugación en el grupo simétrico, lo que significa que se tiene una función de Green para cada partición de $n$ . Para $GL_n$ son (supongo) lo que Macdonald llama funciones Green (no tengo el libro a mano), pero en cualquier caso se pueden explicitar combinatoriamente de varias maneras.

Para relacionarlo con el libro de Macdonald/el artículo de Green, se pueden utilizar las fórmulas de ortogonalidad para el $R_T^1$ s para demostrar que tomando combinaciones lineales apropiadas de ellas según los valores de los caracteres del grupo simétrico, se obtiene un conjunto ortonormal de funciones de clase. Luego se puede comprobar que se trata de caracteres irreducibles, y de hecho no son más que las representaciones de $GL_n(\mathbb F_q)$ que se obtienen como componentes de $\text{Ind}_B^G(1)$ donde $B$ es el conjunto de matrices triangulares superiores, las llamadas representaciones unipotentes. Así, el cambio de matriz base para las funciones de clase sobre los unipotentes entre las funciones de Green y los caracteres unipotentes irreducibles viene dado simplemente por la tabla de caracteres de $S_n$ . Creo que esto se explica en el libro de Digne y Michel en uno de los últimos capítulos sobre ejemplos, por si necesitas una referencia.