Demostrar que la familia de conjuntos periódicos en números enteros forman un álgebra.

Question

Demostrar que $\mathcal{E} = \{E \subset \mathbb{Z}: \exists d\in \mathbb{N}: E + d = E\}$ forman un álgebra.

• $\emptyset \in \mathcal{E}$ porque $\emptyset + d = \emptyset$
• dado $E_1, E_2 \in \mathcal{E}$ tenemos $E_1 + d_1 = E_1$ y $E_2 + d_2 = E_2$ . Sea x el mínimo común múltiplo de $d_1$ y $d_2$ . Entonces $E_1 \cup E_2 = (E_1 \cup E_2) + x$ y que está en $\mathcal{E}$ .

¿Cómo puedo demostrar que el complemento de E arbitrario está en $\mathcal{E}$ ?

Answer 1

Bueno, esa es la afirmación de que si $E$ tiene periodo $d$ entonces $E^c$ tiene periodo $d$ .

Ahora bien, puesto que $f(x)=x+d$ es una biyección en $\mathbb{Z},$ es cierto para cualquier conjunto $A\subseteq \mathbb{Z}$ que $f(A^c)=(f(A))^c$ . Por lo tanto $E^c+d=(E+d)^c=E^c,$ desde $E$ es periódica por suposición.