¿Referencia inglesa para un resultado de Kronecker?

Question

Documento de Kronecker Dos teoremas sobre ecuaciones con coeficientes enteros aparentemente prueba el siguiente resultado que me gustaría referenciar:

Sea $f$ sea un polinomio mónico con coeficientes enteros en $x$ . Si todas las raíces de $f$ tienen valor absoluto como máximo 1, entonces $f$ es un producto de polinomios ciclotómicos y/o una potencia de $x$ (es decir, todas las raíces distintas de cero son raíces de la unidad).

Sin embargo, no tengo acceso a este artículo, y aunque lo tuviera mis conocimientos de alemán del siglo XIX son escasos; ¿alguien conoce alguna referencia en inglés que pueda consultar para conocer los detalles de la prueba?

Answer 1

No conozco ninguna referencia, pero he aquí una prueba rápida: Sean las raíces del polinomio $\alpha_1$ , $\alpha_2$ , ..., $\alpha_r$ . Sea

$$f_n(x) = \prod_{i=1}^r (x- \alpha_i^n).$$

Todos los coeficientes de $f_n$ son racionales, porque son funciones simétricas de la $\alpha$ 's, y son enteros algebraicos, porque el $\alpha$ por lo que son números enteros. Además, como $|\alpha_i| \leq 1$ el coeficiente de $x^k$ en $f_n$ es como máximo $\binom{r}{k}$ .

Combinando las observaciones anteriores, los coeficientes del $f_n$ son números enteros en un intervalo acotado independiente de $n$ . Así, en la secuencia infinita $f_i$ sólo se dan un número finito de polinomios. En particular, existe algún $k$ y $\ell$ con $\ell>0$ tal que $f_{2^k} = f_{2^{k + \ell}}$ . Así que elevar a la $2^{\ell}$ el poder permuta la lista $(\alpha_1^{2^{k}}, \ldots, \alpha_r^{2^k})$ . Para algunos positivos $m$ , elevando a la $2^{\ell}$ potencia $m$ veces será la permutación trivial. En otras palabras,

$$\alpha_i^{2^k} = \alpha_i^{2^{k+\ell m}}$$ .

Cada raíz de la ecuación anterior es $0$ o una raíz de unidad.

Answer 2

Si todos los conjugados de Galois de un número entero algebraico $\alpha$ tienen valor absoluto como máximo 1, entonces la norma de este entero algebraico es un entero racional con valor absoluto como máximo 1. Por lo tanto, o bien el entero algebraico es 0, o bien su norma es $\pm1$ y en este último caso todos los conjugados de Galois de $\alpha$ debe tener valor absoluto igual a 1. Ahora bien, es un hecho bien conocido que los únicos enteros algebraicos cuyos conjugados tienen valor absoluto 1 son las raíces de la unidad [Prueba: los límites sobre los valores absolutos de los conjugados dan límites sobre los coeficientes de los minpolígonos, y por tanto sólo hay finitamente muchos posibles minpolígonos para $\alpha^n$ , $n=1,2,3,\ldots$ (ya que los grados también están acotados), y por tanto $\alpha^n=\alpha^m$ para algunos $m>n>0$ ], así que ahí tienes una prueba completa.

Answer 3

Otra buena referencia (con una breve prueba) es

G. Greiter, A simple proof for a theorem of Kronecker, Amer. Math. Monthly 85 (1978), no. 9, 756-757.

La prueba en este documento está relacionada con las pruebas dadas anteriormente por Kevin y David, pero es un poco más elemental.

Answer 4

El reciente libro de Bombieri y Gluber "Heights in Diophantine Geometry" tiene una prueba de esto en el capítulo 1.

Answer 5

He aquí una buena referencia de P.A. Damianou.

http://www.mas.ucy.ac.cy/~damianou/kronecker.pdf