En una C*-álgebra, poner $a^*a \sim aa^*$. La transitividad de falla?

Question

La vana curiosidad me llevó a preguntarme acerca de la siguiente pregunta. Deje $A$ ser una C*-álgebra. Definir una relación binaria $\sim$ en el cono $A^{\geq 0}$ de los elementos positivos poniendo $x \sim y$ cada vez que hay un $a \in A$ tal que $x = a^*a$$y = aa^*$. Esto es igual que Murray-von Neumann equivalencia, pero arbitrarias de elementos positivos en lugar de las proyecciones.

La relación $\sim$ es reflexiva ya que cualquier positivo $x$ puede ser escrito $x = (\sqrt{x})^* \sqrt{x} = \sqrt{x} (\sqrt{x})^*$ donde $\sqrt{x}$ es el único positivo de la raíz cuadrada de $x$. Es simétrica ya que si $x = a^* a$ $y = aa^*$ $x = bb^*$ $y = b^*b$ donde $b=a^*$.

No veo ninguna razón obvia para $\sim$ a ser transitivo. Sospecho que no es, pero yo no podía llegar con un contraejemplo.

Algunas observaciones:

• Como 5pm señala a continuación, si $A$ es unital y $x,y \in A$ es invertible, entonces a $x \sim y$ si y sólo si $y = uxu^*$ para algunos unitario $u$. De ello se desprende que la restricción de $\sim$ a es invertible elementos de $A$ es una relación de equivalencia.
• Es una relación de equivalencia en el caso de $A=B(H)$ para un espacio de Hilbert $H$. De hecho, si $x = a^* a$ $y = aa^*$ a continuación, polar de la descomposición de la $a$$u \sqrt{a^*a}$, obtenemos que $y = u x u^*$ para una isometría parcial $u$ con el espacio inicial $\overline{\mathrm{ran}(x)}$ y un espacio al final $\overline{\mathrm{ran}(y)}$. Dado que la composición de las isometrías compatible con apoyo de subespacios es otro parcial isometría, obtenemos la transitividad.

Algunas observaciones más:

• Si ocurre que, $$ \text{for every $\en$, there exists $b \en$ such that $aa^* = b^*(a^*) b$,}$$ then $\sim$ is clearly transitive. The latter occurs, for example, when every element $\en$ has a "weak polar decomposition" $a = b \sqrt{a^*}$ for any $b \B$. In particular, existence of polar decompositions suffices to prove $\sim$ es transitiva.
• Podemos tener la $\sim$ transitiva si la condición anterior, se produce un error. Por ejemplo, si $f \in C_0(\mathbb{R})$ es nonvanishing, entonces no es $g \in C_0(\mathbb{R})$$fg = f$. Obviamente $\sim$ es transitiva en conmutativa la C*-álgebras.

Answer 1

Creo que lo he descubierto! La respuesta parece ser que la transitividad tiene. Agradecería cualquier comentario sobre mi prueba. Deje $A$ ser arbitraria C*-álgebra. Dado elementos positivos $x,y \in A$$a \in A$, voy a escribir $x \sim^a y$ significa que $x = a^*a$$y =aa^*$.

Lema. Si $x \sim^a y$, entonces no es una factorización de la $a = a_1 x^{1/4}$ tal que $x^{1/2} \sim^{a_1} y^{1/2}$.

Prueba. Sin pérdida de generalidad, $A \subset B(H)$ para un espacio de Hilbert $H$. Realizar la descomposición polar en $B(H)$ escribir $a= w x^{1/2}$ donde $w$ es una determinada únicamente parcial isometría cuyo apoyo a la proyección de $w^* w$ es igual a la cerrada rango de $x^{1/2}$. Ahora puede que $w \notin A$, pero un fácil polinomio de aproximación argumento muestra que el $a_1 = wx^{1/4} \in A$. Así que tenemos la factorización $a = a_1 x^{1/4}$. Observe $a_1^* a_1 = x^{1/4} w^* w x^{1/4} = x^{1/4} x^{1/4} = x^{1/2}$. Mientras tanto, $(a_1a_1^*)^2 = a_1 (a_1^* a_1)a_1^* = w x^{1/4} x^{1/2} x^{1/4} w^* = (w x^{1/2})(w x^{1/2})^* = aa^* = y$, de modo que $a_1 a_1^* = y^{1/2}$.

Ahora podemos probar el resultado principal.

Teorema. La relación $\sim$ es transitiva.

Prueba. Supongamos que los elementos positivos $x,y,z$ ha $x \sim^a y \sim^b z$$a,b \in A$. Por el lema, hemos factorizations $a = a_1 x^{1/4}$ $b = b_1 x^{1/4}$ tal que $x^{1/2} \sim^{a_1} y^{1/2} \sim^{b_1} z$. Vamos a ver que $x \sim^{b_1 a_1} z$. En efecto: $$ (b_1a_1)^*(b_1a_1) = a_1^* b_1^* b_1 a_1 = a_1^* y^{1/2} a_1 = a_1^* a_1 a_1^* a_1 = x^{1/2} x^{1/2} = x$$ $$ (b_1a_1)(b_1a_1)^* = b_1 a_1 a_1^* b_1^* = b_1 y^{1/2} b_1^*= (b_1 y^{1/4})(b_1 y^{1/4})^* = bb^* = z.$$