¿Puede comprobarse puntualmente la epi/mono de las transformaciones naturales?

Question

Sea $\mathcal C$ sea una categoría. Recordemos que un morfismo $f : X \to Y$ es epi si $$\circ f: \hom(Y,Z) \to \hom(X,Z)$$ es inyectiva para cada objeto $Z \in \mathcal C$ . ( $f$ es mono si $f\circ : \hom(Z,X) \to \hom(Z,Y)$ es inyectiva).

Sea $\mathcal C,\mathcal D$ ser categorías. Entonces $\hom(\mathcal C,\mathcal D)$ el conjunto de todos los functores $\mathcal C \to \mathcal D$ es naturalmente una categoría, donde los morfismos son transformaciones naturales : si $F,G: \mathcal C \to \mathcal D$ son functores, una transformación natural $\alpha: F \Rightarrow G$ asigna un morfismo $\alpha(x) : F(x) \to G(x)$ en $\mathcal D$ para cada objeto $x \in \mathcal C$ y si $f: x \to y$ es un morfismo en $\mathcal C$ entonces $\alpha(y) \circ F(f) = G(f) \circ \alpha(x)$ como morfismos en $\mathcal D$ .

Dada una transformación natural, ¿puedo comprobar si es epi (o mono) comprobando punto por punto? Es decir: ¿es una transformación natural $\alpha$ epi (mono) si $\alpha(x)$ es epi (mono) para cada $x$ ?

Si no es así, ¿existe una implicación en una dirección entre si una transformación natural es epi y si es punto-epi?

Una pregunta más general, que nunca he aprendido, es qué tipo de propiedades de un functor son "puntuales", es decir, se mantienen para el functor si se mantienen para el functor evaluado en cada objeto. Por ejemplo: ¿es el (co)producto de funtores el (co)producto puntual?

Answer 1

Theo, la respuesta es básicamente "sí". Es un "sí" matizado, pero muy poco matizado.

Precisamente: si una transformación natural entre functores $\mathcal{C} \to \mathcal{D}$ es epi puntualmente entonces es epi. Lo contrario no siempre pero sí si $\mathcal{D}$ tiene empujones. A su vez, mono puntual implica mono, y a la inversa si $\mathcal{D}$ tiene retrocesos.

El contexto para ello -y una respuesta a su pregunta más general- es el eslogan

Los (co)límites se calculan puntualmente.

Tienes, digamos, dos functores $F, G: \mathcal{C} \to \mathcal{D}$ y se desea calcular su producto en la categoría de funtores $\mathcal{D}^\mathcal{C}$ . Suponiendo que $\mathcal{D}$ tiene productos, el producto de $F$ y $G$ se calcula de la forma más sencilla posible, la forma "puntual": el valor del producto $F \times G$ en un objeto $A \in \mathcal{C}$ es simplemente el producto $F(A) \times G(A)$ en $\mathcal{D}$ . Lo mismo ocurre con cualquier otra forma de límite o colímite.

Para más información, véanse, por ejemplo, los apartados 5.1.5 a 5.1.8 del documento estas notas . (Probablemente esté en Categorías para el matemático en activo también). Véase también la ficha 9, pregunta 1 en la página enlazada. Para la conexión entre monos y pullbacks (o epis y pushouts), véase 4.1.31.

Tiene que imponer esta condición $\mathcal{D}$ tiene todos los (co)límites de la forma adecuada (pushouts en el caso de tu pregunta original). Kelly propuso algún ejemplo de epi en $\mathcal{D}^\mathcal{C}$ que no es epi puntual; necesariamente, su $\mathcal{D}$ no tiene todos los pushouts.

Answer 2

En todas las respuestas anteriores, la categoría $D$ es necesario tener pushouts / pullbacks para que epi / mono sea equivalente a pointwise epi / mono en categorías de funtores $D^C$ .

El debate en En un corolario en el libro de Mitchell llaman mi atención sobre otra clase importante de categorías que normalmente no tienen pushouts o pullbacks y donde epi / mono también es equivalente a pointwise epi / mono en $D^C$ : Eso es cuando $D$ es exacta.

Una categoría es exacta si

• tiene un objeto cero
• existen kernels y cokernels
• todo monomorfismo es un núcleo y todo epimorfismo es un cokernel
• todo morfismo puede escribirse como composición de un epimorfismo seguido de un monomorfismo.

Como referencia, véase Barry Mitchell: "Theory of Categories", II.11 Functor Categories.

Answer 3

La respuesta aceptada es buena. Si desea otra referencia, consulte la sección 2.15 del Manual de álgebra categórica volumen I (por F. Borceux) páginas 87--90. En particular, su Corolario 2.15.3 nos dice lo siguiente:

Sea $F,G: \mathcal{C} \rightarrow\mathcal{D}$ sean dos functores donde $\mathcal{C}$ es una categoría pequeña y $\mathcal{D}$ tiene retrocesos. Entonces una transformación natural $\alpha : F \rightarrow G$ es mónico en $\mathcal{D}^{\mathcal{C}}$ si y sólo si para cada objeto $C\in \mathcal{C}$ , $\alpha_C : F(C)\rightarrow G(C)$ es mónico en $\mathcal{D}$ .

Answer 4

Ésta es sólo una respuesta parcial. En cuanto a tu primera pregunta (mono/epi iff pointwise mono/epi): Al menos para el caso en que la categoría objetivo $\mathcal{D}$ es $\mathbf{Set}$ es cierto que mono/epi puntual implica mono/epi, ver p. 91 de la edición de 1998 de Mac Lane.

En cuanto a la segunda pregunta, la respuesta es que los límites puntuales implican límites en categorías de funtores, por el teorema del ``límite con parámetros'' ( Teorema V.3.1 de Mac Lane ).

Answer 5

La respuesta es "Sí" si el caegorio tiene pullbaks, de lo contrario no en general: Sea $C$ una categoría y $I$ un diagrama, Si $C$ ha límites (de algún tipo) entonces los algunos pasan por $C^I$ porque se pueden hacer límites puntuales. Entonces si $m: F\Rightarrow G$ es Mono (en $C^I$ ) el pullabck de $(m,m)$ dar el cospan $F\leftarrow^{1_F}F\to^{1_F}F$ y si $C$ tiene pullback entonces se puede ver lo anterior componentwise, entonces cualquier pullback de $(m(i), m(i))$ dar el cospan $F(i)\leftarrow^{1_{F(i)} }F(i)\to^{1_{F(i)}}F(i)$ entonces cualquier $m(i)$ es Mono. Ahora, dejemos que $C$ la categoría follow donde no hay flecha de identidad son as: $f,g: A\to B$ , $h: B\to C$ donde $h\circ f= h\circ g $ entonces en $C^\to$ tenemos el monomorfismo $(f, h): g\to h$ pero $h$ no es Mono, por la forma en que se obtiene el retroceso no puntual de $(f,h), (f,h))$ dar el cospan $g\to^1 g\\leftarrow^{1 } g$ (Tomo este argumento de G Kelly: http://www.tac.mta.ca/tac/reprints/articles/10/tr10abs.html ).

Lo siento por mi pobre Inglés, y Latex , pero yo uso xymatrix para hacer diagrama y parece dont trabajo aquí