¿Cómo debo visualizar RP^n?

Question

Así que hice algo de topología algebraica en la universidad, incluyendo teoría de homotopía y homología simplicial básica, así como algo de geometría diferencial; y ahora estoy volviendo al tema por diversión a través del libro de texto de Hatcher. Un problema que tuve en el pasado y que sigo teniendo ahora es cómo entender el espacio proyectivo RP^n; no consigo visualizarlo ni pensar en él de forma concreta. ¿Alguna idea?

edit: Esencialmente RP^n es siempre el ejemplo que no entiendo. Así que cuando por ejemplo Hatcher dice que S^n es de un complejo CW con dos celdas e^0 y e^n, puedo imaginar lo que está pasando porque sé cómo son las esferas y me puedo imaginar la unión de alguna manera concreta. Pero cuando dice "vemos que RP^n se obtiene a partir de RP^{n-1} adjuntando una celda n [...] se deduce por inducción sobre n que RP^n tiene una estructura de complejo de celdas e^0 U e^1 U ... e^n", mi cerebro se rinde.

Answer 1

Puede "visualizar" la estructura celular en $\mathbb{R}P^n$ más bien explícitamente de la siguiente manera. El conjunto de tuplas $(x_0, ... x_n) \in \mathbb{R}^{n+1}$ , no todos iguales a cero, bajo la relación de equivalencia en la que identificamos dos tuplas que difieren por multiplicación por un número real distinto de cero, se puede descomponer en trozos dependiendo de cuál de los $x_i$ son iguales a cero.

• Si $x_0 \neq 0$ los puntos correspondientes pueden escribirse $(1, x_1, ... x_n)$ y forman un subespacio isomorfo a $\mathbb{R}^n$ .

• Si $x_0 = 0$ y $x_1 \neq 0$ los puntos correspondientes pueden escribirse $(0, 1, x_2, ... x_n)$ y forman un subespacio isomorfo a $\mathbb{R}^{n-1}$ .

Y así sucesivamente. Una forma de decir esto es que las tuplas donde $x_0 \neq 0$ forman una rebanada afín o una cubierta afín de $\mathbb{R}P^n$ y las tuplas donde $x_0 = 0$ constituyen los "puntos en el infinito", que a su vez forman una copia de $\mathbb{R}P^{n-1}$ .

Answer 2

El conjunto de líneas que pasan por el origen en $R^n$ . De esto se deduce que es equivalente a la esfera unitaria módulo de reflexiones. O la mitad superior de la esfera unitaria con los puntos antípodas de la frontera identificados entre sí.

También se puede parametrizar un conjunto abierto denso utilizando el hiperplano $x^n = 1$ las únicas líneas que se pierden son las paralelas a este hiperplano, es decir, las líneas que pasan por el origen y están dentro de $x^n = 0$ . Por lo tanto, el conjunto de líneas que faltan es en sí mismo un $RP^{n-2}$ . Así que $RP^{n-1}$ puede considerarse como la unión de $R^{n-1}$ con $RP^{n-2}$ (que suele denominarse "hiperplano en el infinito").

Obviamente, puede hacer esto con cada coordenada, dándole $n$ conjuntos abiertos densos, cada uno con un mapa natural a $R^{n-1}$ (llamadas "coordenadas afines"), que cubren $RP^{n-1}$ .

Supongo que estas descripciones no le sirven. Puede decirnos más sobre lo que quiere?

Answer 3

Puede que le guste el Problema 1B del libro de Milnor y Stasheff Clases características. El problema produce una incrustación explícita (aunque de dimensiones bastante altas) de $RP^n$ en el espacio euclidiano. En concreto, resulta que $RP^n$ puede considerarse como el espacio de $(n+1)\times(n+1)$ matrices de proyección simétricas reales con traza 1. Esto puede no ser tan útil para la visualización, pero es bastante concreto.

Esta incrustación proviene del mapa que envía un vector $x = (x_1, \ldots, x_{n+1})\in \mathbb{R}^{n+1}$ a la matriz con $(i,j)^{\textrm{th}}$ entrada $(x_i x_j)/|x|^2$ .

Answer 4

Un punto en $RP^n$ corresponde a un par de puntos antípodas en $S^n$ - así que practica visualizando dos puntos antípodas en una esfera cada vez que digas Punto. Este enfoque es claramente equivalente a otras definiciones, pero me parece bueno para "ver". La estructura celular estándar se define entonces por un Punto que está en el interior del $i$ -si y sólo si la primera $n-i$ las coordenadas del par de puntos correspondiente desaparecen.

También se pueden visualizar los espacios Lens de esta manera: un único punto en un espacio Lens se ve como una colección de algunos $k$ puntos de la esfera unidad en algunos ${\mathbb C}^n$ que están relacionados por la multiplicación por algún $k$ de la unidad.

Answer 5

Para $\mathbb{R}P^2$ Me gusta Superficie del niño que es una inmersión especialmente simétrica del plano proyectivo en $\mathbb{R}^3$ .

Véase también este Modelo basado en Java.

Puedes construir una versión a trozos de uno de estos con papel. Si recortas una ventana en forma de disco (para ver el interior hasta el punto triple), lo que tienes es un modelo de la banda de Mobius para el que el círculo límite es en realidad un círculo redondo.

Por supuesto, esto no ayuda realmente con el resto de ellos $(n \ge 3)$ ¡!