Son los de Hamilton y de Lagrange siempre de las funciones convexas?

Question

El Hamiltoniano y de Lagrange están relacionados por una transformación de Legendre: $$ H(\mathbf{q}, \mathbf{p}, t) = \sum_i \dot q_i p_i - \mathcal{L}(\mathbf{q}, \mathbf{\dot q}, t). $$ Para que esto sea una transformación de Legendre, $H$ debe ser convexa en cada una de las $p_i$ $\mathcal{L}$ debe ser convexa en cada una de las $\dot q_i$.

Por supuesto, este es el caso de simples ejemplos como el de una partícula en un potencial bien, o relativista de la partícula en movimiento inertially. Sin embargo, no es obvio para mí que va a ser siempre el caso para una arbitraria de varios componentes del sistema uso de algunos complicado conjunto de coordenadas generalizadas.

Es éste siempre el caso? Si es así, ¿hay algún tipo de argumento a partir de la cual se puede demostrar? O, alternativamente, hay casos en los que estas convexidad restricciones no espera, y si es así, ¿qué sucede entonces?

Answer 1

I) En el clásico nivel, no hay ninguna condición de convexidad. Si una acción funcional $S$ de los rendimientos de un principio de acción estacionaria, por lo que será la acción negativa $-S$. (Bajo el signo de los cambios, una función convexa se convierte en el cóncavo de la función y viceversa). O uno podría imaginar una teoría, que es convexa en una sección cóncava y en otro sector.

II) En el Lagrangiano de lado $L(q,v,t)$, es fácil encontrar contraejemplo, que muestra, que no se puede exigir que la convexidad en la posición de las variables de $q^i$; o la variable de tiempo de $t$, para el caso. (Para el primero, pensemos, por ejemplo en un sombrero Mexicano potencial.) Así que, como OP escribe, la convexidad puede en la mayoría de preocupación de las variables de velocidad de $v^i$ en el de Lagrange; o el impulso de las variables de $p_i$ en el Hamiltoniano $H(q,p,t)$.

III) En la formulación Hamiltoniana, es posible realizar la transformación canónica

$$(q^i,p^j)~\longrightarrow~(Q^i,P^j)~=~(-p^i,q^j)$$

los que se mezcla la posición y el impulso de las variables. A partir de un Hamiltoniano perspectiva, es antinatural para imponer la convexidad de la mitad de las variables canónicas, pero no en la otra mitad.

IV) El Lagrangiano (densidad) puede ser modificado con el total de la divergencia en términos de que no cambie de Euler-Lagrange las ecuaciones. Estas total de divergencia de los términos, en principio, podría violar la convexidad.

V) La transformación de Legendre podría ser singular. De hecho, este es el punto de partida de la restricción dinámica. Esto sucede, por ejemplo, para el Lagrangiano de Maxwell densidad de $${\cal L}~=~-\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}.$$ Ver, por ejemplo, este Phys.SE post.

VI) la mecánica Cuántica, debemos exigir que el Hamiltoniano operador auto-adjunto, y limitada desde abajo, es decir, la teoría debe ser unitarity.

Perturbativa, esto significa que el cuadrática cinética término debe ser un (semi)forma positiva (y, por tanto, una función convexa). Cero modos debe ser de calibre fijo. Los términos de interacción son generalmente tratadas perturbativa.

En conclusión, la convexidad no parece ser un primer principio per se, sino más bien una consecuencia del tipo de QFTs, que normalmente son capaces de dar sentido. Podría ser que es posible dar un no-perturbativa de la definición de un no-convexo (pero unitaria) de la teoría.