Estoy teniendo algunos problemas para entender el comportamiento de la función delta/distribución de Dirac bajo cambio de coordenadas. Hay una declaración, si $(x_1,\ldots,x_n)$ son coordenadas cartesianas y $y_1,\ldots,y_n$ son algunas coordenadas generales en euclídeo $\mathbb{E}^n$ espacio, entonces: $$ x_1=x_1(y_1,\ldots,y_n),\\ \vdots \\ x_n=x_n(y_1,\ldots,y_n)$$ y el jacobiano: $$ J(y_1,\ldots,y_n) = \begin{vmatrix} \frac{\partial x_1}{\partial y_1} & \cdots & \frac{\partial x_1}{\partial y_n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial x_n}{\partial y_1} & \cdots & \frac{\partial x_n}{\partial y_n} \end{vmatrix} $$
definir la transformación. Siempre que $J(y_1^{(P)},\ldots,y_n^{(P)})\ne0$ para $(y_1^{(P)},\ldots,y_n^{(P)})$ coordenadas de un punto $P$ corespondiente a las coordenadas cartesianas $(x_1^{(P)},\ldots,x_n^{(P)})$ entonces:
$$\delta(x_1-x_1^{(P)})\cdots\delta(x_n-x_n^{(P)}) = \frac{1}{|J(y_1^{(P)},\ldots,y_n^{(P)})|} \delta(y_1-x_1^{(P)})\cdots\delta(x_n-y_n^{(P)})$$ .
Me pregunto cómo demostrar este hecho. Si considero $\delta$ en la idea original de Dirac, entonces:
$$f(x_1^{(P)},\ldots,x_n^{(P)})=\int_{\Omega}\delta(x_1-x_1^{(P)})\cdots\delta(x_n-x_n^{(P)}) f(x_1,\ldots,x_n)\,{\rm d}x_1\ldots{\rm d}x_n=\\= \int\ldots\int\frac{\delta(y_1-y_1^{(P)})\cdots\delta(y_n-y_n^{(P)})}{|J(y_1^{(P)},\ldots,y_n^{(P)})|} f(y_1,\ldots,y_n) |J(y_1^{(P)},\ldots,y_n^{(P)})|\,{\rm d}y_1\ldots{\rm d}y_n=\\ = \begin{cases} f(y_1^{(P)},\ldots,y_n^{(P)}) & \quad \text{all integration bounds contain the point $P$}\\ 0 & \quad \text{Any one of the integration bounds does not contain the point $P$} \end{cases} $$
Y casi todo parece estar bien, pero no estoy seguro de que tal prueba sea suficiente para esta interpretación.
Cuando considero $\delta$ como una distribución, no entiendo muy bien cómo demostrar que esto se cumple, ni siquiera si es cierto. Recuerdo que para una distribución, se puede definir una multiplicación con un $C^\infty$ pero sigo sin ver cómo demostrar que lo anterior se cumple, ya que en términos de distribuciones $\delta$ se define únicamente como una función lineal continua que no $<\delta,\phi>=\phi(x)$ a cualquier $C^\infty$ función de prueba con soporte compacto en algún conjunto (realmente no hay integración implicada).
