¿Por qué es una buena idea estudiar un anillo estudiando sus módulos?

Question

Esto está relacionado con otra pregunta mía . Supongamos que conoces a alguien que conoce bien las propiedades básicas de los anillos, pero que nunca ha oído hablar de los módulos. Le dices que los módulos generalizan los ideales y los cocientes, pero no se deja impresionar. ¿Cómo le convences de que estudiar los módulos de un anillo es una buena manera de entenderlo? (En otras palabras, ¿por qué hay que trabajar de forma "externa" al anillo?) Tu respuesta también debe explicar por qué es una buena idea estudiar un grupo estudiando sus representaciones.

Answer 1

En primer lugar, la categoría de anillo conmutativo es opuesta a la categoría de esquemas afines conmutativos (ya sea en el sentido geométrico algebraico clásico o en el sentido del punto de vista presheaf).

En segundo lugar, considerando un esquema afín (Spec(R),O), donde R es un anillo conmutativo. Qcoh(SpecR,O) es R-mod (categoría de R-módulos). Deberías saber que podemos reconstruir el esquema afín (SpecR,O) a partir de este módulo R hasta isomorfismo. Así que estudiar la categoría de anillos y módulos sobre ella es lo mismo. (En realidad, esto es desde el punto de vista de Grothendieck: para hacer geometría, sólo necesitamos la categoría de láminas en "sería espacio", este punto de vista es apoyado por el teorema de reconstrucción de Gabriel-Rosenberg).

Pero, la teoría de módulos es sólo la teoría del álgebra lineal. Es mucho más fácil de tratar que la teoría de anillos. De hecho,si estudiamos esquemas cuasi compactos y cuasi separados. De acuerdo con el teorema de Barr-Beck (en particular, el descenso plano de Grothendieck), toda la geometria algebraica se convierte en algebra lineal (para esquemas afines, tratamos con modulos sobre monadas, para esquemas no afines, tratamos con comodulos sobre comonadas, para todos los esquemas semiseparados (todas las variedades algebraicas), incluso tenemos una forma mas simple para comonadas). Pero tengo que recordarte. Supongo que estás hablando de un anillo unital.

Para un anillo no unital, aún podemos considerar el módulo R como categoría de acción asociativa a algún espacio vectorial lineal. Esto es sólo el cuasi coherente sheaves en cuasi esquema afín (que se llama cono). De hecho, esto tampoco es muy difícil de tratar. Una buena referencia para el marco general es "Des categories Abéliennes" o, más recientemente, la obra de O. Gabber sobre teoría de casi anillos.

Para tu pregunta sobre el estudio de la teoría de la representación de G. La razón es la misma. Podemos utilizar el formalismo de Tannaka para reconstruir un grupo localmente compacto a partir de sus representaciones. Además, si G es un grupo algebraico. Entonces toda la geometría algebraica sobre el esquema de grupo puede convertirse en estudio sobre Rep(G) que es una categoría simétrica monoidal con álgebra lineal.

Answer 2

Si tu amigo conoce bien los anillos y los ideales, seguro que se ha encontrado con cocientes como $I/J$ ¿verdad? ¿Qué son para él, conjuntos, grupos abelianos? Este punto de vista es deficiente. Se pueden formular resultados básicos y muy útiles, como (para $A$ local, noetheriano): si $I/mI$ tiene un conjunto de $n$ generadores, también lo ha hecho el ideal $I$ (Nakayama) , sólo si puedes ver $I/J$ como módulo...

Answer 3

Un ejemplo sencillo: Si tienes una representación de un grupo presentada por generadores y relaciones, tienes un algoritmo explícito para resolver el problema de palabras para este grupo. Otro ejemplo: la demostración de Teorema de Burnside .

Una representación de una estructura algebraica proporciona, en términos generales, herramientas adicionales para comprender la estructura. Véase, por ejemplo, la demostración topológica de la Teorema de Nielsen-Schreier .