¿Por qué es una buena idea estudiar un anillo estudiando sus módulos?

Question

Esto está relacionado con otra pregunta mía . Supongamos que conoces a alguien que conoce bien las propiedades básicas de los anillos, pero que nunca ha oído hablar de los módulos. Le dices que los módulos generalizan los ideales y los cocientes, pero no se deja impresionar. ¿Cómo le convences de que estudiar los módulos de un anillo es una buena manera de entenderlo? (En otras palabras, ¿por qué hay que trabajar de forma "externa" al anillo?) Tu respuesta también debe explicar por qué es una buena idea estudiar un grupo estudiando sus representaciones.

Answer 1

El enfoque "categórico": Entender un objeto no a través de las propiedades intrínsecas (más bien ignorarlas, no forman parte de los datos categóricos) sino a través de los morfismos.

Al elegir una categoría en la que trabajar, elegimos la clase de propiedades que nos interesan. Si elegimos trabajar en la categoría de grupos y homomorfismos de grupo, entonces no se distinguirán dos grupos con conjuntos subyacentes diferentes pero que tengan un isomorfismo de grupo entre ellos.

Una representación de grupo es un morfismo de grupo G -> End(M) y de esta forma obtenemos propiedades sobre el propio grupo.

Un módulo M sobre un anillo R no es otra cosa que un morfismo R -> End(M) y por tanto obtenemos información sobre R a partir de este morfismo (o, mejor: a partir de la colección de todos estos morfismos).

Entonces, se podría seguir preguntando "¿por qué debemos hacer esto y no estudiar el anillo/grupo intrínsecamente"?

Mi respuesta es: ¿qué es para usted un grupo? Para mí es un conjunto que cumple los axiomas de grupo, y dos grupos son iguales si existe un isomorfismo de grupo entre ellos.

El estudio "intrínseco" sólo tiene sentido si quieres distinguir diferentes grupos/anillos que son isomorfos. Pero entonces también podrías elegir una categoría diferente, con menos isomorfismos :-)

Answer 2

Siempre he pensado que uno debe considerar cuestiones como teoría de anillos/teoría de módulos o teoría de grupos (abstractos)/teoría de representación de grupos de manera análoga a la teoría de los manifolds abstractos/embeddings de manifolds. Así se pueden desentrañar las nociones "mezcladas" y elaborar los conceptos con mayor claridad. No es que las incrustaciones de variedades sean "más interesantes" que la teoría de variedades, al contrario, lo esencial es distinguir ambas.

Answer 3

Esto está estrechamente relacionado con la respuesta de Pete Clark, pero expresado de una manera ligeramente diferente que personalmente encuentro útil. Creo que no es demasiado difícil convencer a la gente de que, cuando se estudia un objeto abstracto, ayuda mucho poder "escribirlo concretamente", es decir, considerar una representación del objeto. No es casual que la palabra "representación" se utilice para un homomorfismo de un grupo en el grupo de matrices sobre un campo; matrices sobre un campo familiar como $\mathbb{C}$ son, intuitivamente, "más concretos" que un grupo abstracto arbitrario y, por tanto, puede considerarse que proporcionan una representación concreta del grupo. Cuando se escribe algo de forma concreta, a menudo surge alguna estructura que no es evidente de forma inmediata a partir de la definición abstracta original. Por ejemplo, la tabla de caracteres es un invariante importante de un grupo finito. No sé cómo se podría llegar a este invariante sin tener en cuenta las representaciones del grupo.

Del mismo modo, los módulos son representaciones de anillos. Creo que el Teorema de Artin-Wedderburn es una buena ilustración de la utilidad de considerar representaciones de anillos. Aunque sólo te interesen los anillos en sí, es un resultado importante que puedas clasificar todos los anillos (artinianos) semisimples como productos de anillos matriciales sobre anillos de división. Si se posee el concepto de que un anillo se puede representar como un anillo de matrices, entonces no es demasiado chocante (e incluso puede parecer natural) que algo como el teorema de Artin-Wedderburn sea cierto, y además incluso se puede ver que para demostrarlo hay que construir de alguna manera los anillos de matrices haciendo que el anillo original actúe sobre algo. Sin el concepto de representación (o, equivalentemente, de módulo), no sé cómo se procedería; parece una tarea difícil y torpe en el mejor de los casos.

Answer 4

Si el anillo $R$ es ${\mathbb R}$ entonces los módulos son espacios vectoriales. Los espacios vectoriales son más interesantes y más útiles. Los módulos sobre un anillo arbitrario son análogos a los espacios vectoriales. Además, los lugares donde las analogías se rompen forman las partes interesantes de la teoría.

Para los grupos y las representaciones, creo que la cuestión es diferente. Se puede pensar en un grupo como un conjunto de simetrías --- el significado original. ¿Simetrías de qué? Pues, por ejemplo, de un espacio vectorial concreto, o mejor dicho, de una familia de espacios vectoriales. Las relaciones entre esos espacios te hablan del grupo.

Answer 5

Esto está relacionado con una pregunta anterior:

¿Qué ejemplos representativos de módulos debo tener en cuenta?

Mi respuesta es la misma: mire los frontispicios del libro de Miles Ried Álgebra conmutativa de pregrado, que visualizan este hecho central: Los módulos son para los anillos lo que los paquetes son para las variedades.