¿Por qué es una buena idea estudiar un anillo estudiando sus módulos?

Question

Esto está relacionado con otra pregunta mía . Supongamos que conoces a alguien que conoce bien las propiedades básicas de los anillos, pero que nunca ha oído hablar de los módulos. Le dices que los módulos generalizan los ideales y los cocientes, pero no se deja impresionar. ¿Cómo le convences de que estudiar los módulos de un anillo es una buena manera de entenderlo? (En otras palabras, ¿por qué hay que trabajar de forma "externa" al anillo?) Tu respuesta también debe explicar por qué es una buena idea estudiar un grupo estudiando sus representaciones.

Answer 1

Quiero responder a su pregunta dos veces: la primera con un enfoque "descendente" y la segunda con un enfoque "ascendente". Permíteme que me limite a la primera respuesta a ver qué tal me va.

Reclamo la siguiente analogía:

grupos abstractos : acciones de grupos sobre conjuntos :: anillos abstractos : acciones lineales de anillos sobre grupos abelianos (= módulos)

Daré por sentado que es conveniente estudiar los grupos que actúan en platós. Si no lo haces, sino que piensas en los grupos sólo como conjuntos con una cierta ley de composición, entonces estás pensando en los grupos "de forma equivocada". Te estás perdiendo no sólo poderosas herramientas para estudiar grupos abstractos (por ejemplo, el Monstruo se construyó como el grupo de automorfismo de cierta álgebra), sino también, lo que es aún más importante, por qué los grupos son importantes e interesantes para las matemáticas: aparecen como automorfismos de cosas, no (o más bien, raramente) de forma abstracta.

La forma de pensar en una acción de grupo es que tienes un conjunto S, y tiene un grupo de automorfismo, Sym(S), el grupo de todas las biyecciones de S a sí mismo. Entonces una acción de G sobre S es simplemente un homomorfismo de grupos G -> Sym(S). En términos más generales, si x es cualquier objeto de una categoría C, entonces tiene un grupo de automorfismo Aut(x), y se puede pensar en un homomorfismo de un grupo abstracto G a Aut(x) como una acción de grupo sobre x.

Ahora, en lugar de un conjunto, tomamos un grupo abeliano M. Éste tiene más estructura -- aparte de un grupo Aut(M) de automorfismos Z-lineales, también tiene un anillo de endomorfismos End(M): el anillo de mapas Z-lineales de M a sí mismo. Nótese que End(M) es en general no conmutativo, por lo que esta construcción es más general que cualquier construcción de "anillo de funciones" en geometría algebraica (¡conmutativa!).

Así pues, dado un anillo R, la analogía se completa considerando homomorfismos de anillo R -> End(M). En cuanto a los anillos, esto proporciona un puente entre la noción abstracta de anillo y la noción del "mundo real" de endomorfismos de un grupo abeliano. Además, del mismo modo que la noción de grupo de simetría de un conjunto se generaliza a la de grupo de automorfismo de un objeto de una categoría, cualquier objeto x de una categoría abeliana C tiene un anillo de endomorfismo y, por tanto, se pueden considerar "acciones de anillo" de un anillo abstracto R sobre x, mediante homomorfismos R -> End(x).

En la primera parte de la analogía, la categoría de conjuntos G [a la izquierda o a la derecha] desempeña un papel destacado para un grupo concreto G. En concreto, proporciona una forma de que cada grupo G sea el grupo de automorfismo preciso de algún objeto de una categoría: es el grupo de automorfismo de sí mismo. Por supuesto, no es cierto que cualquier grupo abstracto sea igual al grupo de simetría completo Sym(S) de un conjunto S, por lo que se trata de una construcción importante.

En la segunda parte de la analogía, la categoría abeliana de los módulos R [de izquierda o de derecha] desempeña un papel destacado. En particular, End_{R-Mod}(R) = R, por lo que todo anillo es el anillo de endomorfismo preciso de algún objeto de una categoría abeliana. (Estoy bastante seguro de que no todo anillo es isomorfo al anillo de endomorfismo completo de un grupo abeliano, aunque esto es menos obvio que el otro caso. Podría ser una buena pregunta por derecho propio...)

Ésta es, en mi opinión, la respuesta "general" correcta a la pregunta "¿Por qué estudiar los módulos de un anillo es una buena manera de entender ese anillo?". Otro tipo de respuesta daría ejemplos de álgebra conmutativa en los que los teoremas sobre anillos se demuestran utilizando módulos. Lo intentaré en el futuro.

Answer 2

Una forma de convencer al tipo sería hacerle una lista de preguntas interesantes que puede hacerse sobre los anillos, y mostrarle cuáles se pueden resolver fijándose sólo en la categoría de los módulos.

En algún momento de esta conversación, habría que señalar que puede muy bien ocurrir que dos anillos diferentes tengan categorías de módulos equivalentes, por lo que al responder a cualquier pregunta de este tipo podemos cambiar el anillo .

Answer 3

De lo contrario, sería como conocer una bicicleta sin montar en ella.

Answer 4

En resumen, se lo diría a tu amigo: "Si crees que un anillo puede entenderse geométricamente como funciones su espectro, entonces los módulos te ayudan proporcionando más funciones con las que medir y caracterizar su espectro".

Elementos de un módulo sobre un anillo $R$ son como funciones generalizadas sobre $Spec(R)$ . Podemos hablar del soporte de un elemento del módulo, o de su conjunto de fuga. Más concretamente, piensa en cómo las secciones globales de un haz de líneas pueden actuar como funciones que puedes utilizar para definir el mapa en el espacio proyectivo.

Cuando se pega un módulo sobre conjuntos abiertos de un espectro o un esquema, se llega a pegar utilizando mapas que son módulo que son más flexibles que los isomorfismos de anillo necesarios para unir un esquema. Tomando prestada la intuición del terreno de las variedades suaves, la torsión de la banda de Moebius (como haz de líneas sobre el círculo) se forma pegando una copia de los reales a sí misma mediante la multiplicación por $-1$ un mapa de módulo, no un mapa de anillo. Esto nos permite pensar en funciones como $\cos(\theta/2)$ como definido globalmente: como un mapa de la banda de Moebius.

En la misma línea, cuando se tiene una representación $V$ de un grupo $G$ cada elemento $v\in V$ le ofrece un bonito mapa de evaluación de $G$ en $V$ Así que, por todas partes, tenemos morfismos de nuestro objeto de interés a un objeto conocido, que están muy bien relacionados entre sí a través de las leyes de grupo. A fortiori, esto ciertamente no capta toda la utilidad de las representaciones de grupo, pero a priori creo que es una justificación decente.

Answer 5

En homenaje a Serge Lang, podría sugerir a su amigo que coja cualquier libro sobre la teoría de Morita y resuelva todos los ejercicios.  En tono menos jocoso, podría señalar que muchas propiedades interesantes de la teoría de anillos pueden caracterizarse, a veces de forma inesperada, por propiedades de la categoría de módulos (derechos) sobre el anillo.  Por ejemplo, consideremos lo que significa para todo módulo derecho $R$ -que los módulos sean inyectivos, o lo que significa que todo derecho $R$ -módulos sean proyectivos, o lo que significa que todos los $R$ -o lo que significa que todas las sumas directas de módulos inyectivos derechos $R$ -o lo que significa que todos los productos directos de la derecha proyectiva $R$ -módulos sean proyectivos, o lo que significa que todo derecho plano $R$ -módulos para ser proyectivo, o ...