Sobre la caracterización de Bourbaki de los proyectivos...

Question

En el Álgebra Conmutativa de Bourbaki tenemos el siguiente teorema:

II.5.2 Dejemos $A$ ba un anillo y $P$ un $A$ -módulo. TFAE:

(i) $P$ es un módulo proyectivo f.g.

(ii) $P$ es un módulo finitamente presentado y, para cada ideal maximal $m$ de $A$ , $P_m$ es un $A_m$ -modulo.\

(iii) $P$ es un módulo f.g., para todo $p \in$ Espec( $A$ ), el $_p$ -módulo $P_p$ es libre y, si denotamos su rango por $r_p$ la función $p \mapsto r_p$ es localmente constante en el espacio topológico Spec( $A$ ).

Hay más en este teorema pero he expuesto lo que necesito para mi pregunta. A saber, a menos que me esté perdiendo algo, para que (iii) implique (i) ¿no necesitamos la condición adicional de que $A$ ¿es un anillo reducido? Veo su demostración y no encuentro el problema, pero Eisenbud sugiere que existe un contraejemplo en el problema 20.13 de Commutative Algebra with a View Toward Algebraic Geometry. Debo de haberme perdido algo.

Answer 1

Queridos fishibones, un punto importante es que al principio del capítulo II, Bourbaki afirma que todos los anillos que considerará son conmutativos. Esto implica que si un módulo libre tiene dimensión finita, esta dimensión está definida sin ambigüedad. Esta propiedad se denomina propiedad del número de base invariante (IBN) y puede fallar para anillos no conmutativos (se pueden encontrar contraejemplos en, por ejemplo, Lam's Lectures on Modules and Rings, Springer GTM 189.) Esta dimensión inequívocamente definida de un módulo libre finitamente generado es lo que Bourbaki llama su rango .

Permítanme subrayar que Bourbaki sólo utiliza "rango" en el sentido anterior, es decir, para módulos libres finitamente generados. Si $M$ es un módulo de rango $r$ sobre el ring $A$ entonces para cualquier ideal primo $\frak {p}$$ \en A $ the modules $ M_{\frak p}} $ over $ A_{\frak {p}} $ and $ M_{\frak {p}} \otimes_{A_{\frak p}} \kappa (p) $ over $ \kappa (p) $ also are free of rank $ r$. Con esta definición y uso del rango, el Théorème 1 de Bourbaki que mencionas es perfectamente correcto (¡bien sûr!)

No hay contradicción con el ejercicio de Eisenbud: él hace no suponer que su módulo $M$ tiene todas sus localizaciones $M_{\frak {p}}$ libre sobre $R_{\frak {p}}$ mientras que Bourbaki sí. Eisenbud sólo supone que la dimensión del $\kappa ({\frak p})$ - espacio vectorial $M_{\frak {p}} \otimes_{R_{\frak p}} \kappa (p)$ es localmente constante, mientras que Bourbaki ni siquiera menciona esta dimensión cuando $M_{\frak {p}}$ no es $R_{\frak {p}}$ -gratis.

Answer 2

Como señala H.G. en un comentario, la condición de Bourbaki se refiere al módulo localizado $P_p$ mientras que la afirmación de Eisenbud se refiere al cociente $P(p)=P_p/p$ . Por poner un ejemplo tonto, $A=k[x]/x^2$ y $M=k[x]/x$ es no libre (por lo que falla (iii) arriba) pero satisface la condición que Eisenbud está considerando (por supuesto, $A$ no se reduce).