¿Cómo se consigue la máxima amplitud de resonancia?

Question

Tomemos el caso más simple de un sistema estrechamente sintonizado y la fuerza exterior exactamente a la frecuencia natural del mismo. El primer impulso pasará, rebotará algo más débil y será reforzado por la fuerza exterior de la frecuencia apropiada. Interferirán positivamente y la onda resultante será mayor que la primera, por lo que volverá con mayor amplitud tras la reflexión. De esta forma, la amplitud seguirá aumentando infinitamente, siempre que la fuerza motriz permanezca constante y el efecto de amortiguación sea el mismo.

Mi pregunta principal es: ¿qué es lo que limita la amplitud?

Estos son sólo para señalar en qué dirección estoy pensando (lo que no sé básicamente): ¿El efecto de la amortiguación aumenta exponencialmente con el aumento de la amplitud, hasta un punto que la supera? En caso afirmativo, ¿por qué razón?

¿El límite de aumento de la amplitud de resonancia se debe a que la frecuencia de la fuerza exterior tiene que coincidir de forma superprecisa con la frecuencia natural y a las pequeñas desviaciones de los períodos de las ondas reflejadas para continuar realmente la interferencia positiva exclusivamente para seguir aumentando la amplitud, lo que resulta imposible en la práctica?

PD Preferiría una respuesta más conceptual e intuitiva debido a mis escasos conocimientos de física, pero agradeceré y haré un esfuerzo por trabajar con respuestas más prácticas, por complejas que sean. Y podrían beneficiar a otros miembros aunque de momento me sobrepase. Gracias.

Answer 1

En ausencia de amortiguación un oscilador conducido en resonancia tendrá efectivamente una amplitud que explota sin límite.

Sin embargo, en presencia de una fuerza de amortiguación dependiente de la velocidad, la amplitud estará limitada. En su lenguaje, esto se debe a que, sí, el efecto relativo de la fuerza de amortiguación es mayor a amplitudes grandes. A mayores amplitudes, el oscilador experimenta mayores velocidades y, por tanto, también mayores fuerzas de amortiguación dependientes de la velocidad. Cuando el oscilador se mueve lo suficientemente rápido, las fuerzas de amortiguación se aproximan a la magnitud de la fuerza impulsora y se alcanza una amplitud de oscilación de estado estacionario.

Answer 2

Según oscilador armónico accionado y amortiguado ecuación de desplazamiento :

$$ {\displaystyle x(t)={\frac {F_{0}}{m{\sqrt {\left(2\omega \omega _{0}\zeta \right)^{2}+(\omega _{0}^{2}-\omega ^{2})^{2}}}}}\sin(\omega t+\varphi ),} ~~(1)$$

cuando la frecuencia de accionamiento es igual a la frecuencia natural, es decir $\omega = \omega_0$ , entonces en caso de que no haya amortiguación, $\zeta= 0$ entonces de la primera ecuación se deduce que $F_{max} \to \infty$ es decir, sin límites de amplitud. ( $F$ es amplitud, no fuerza !)

Pero cuando el oscilador está amortiguado, es decir. $\zeta \gt 0$ , entonces el máximo de amplitud de las oscilaciones toma la forma :

$$ F_{max} = \frac {F_0}{2m\omega_0^2\zeta}~(2)$$

Así que, en principio, en una resonancia, la amplitud de las oscilaciones está controlada por el factor de amortiguación (y, en un caso más complejo, también por una frecuencia impulsora si no es igual a la frecuencia natural).