Sistema dinámico topológico contable

Question

Definiciones

A efectos de este post, se entiende por sistema dinámico (topológico) es un espacio métrico compacto $X$ dotado de un homomorfismo $T:X\to X$ .

Decimos que un subconjunto $S$ de $\mathbb Z$ es relativamente denso sur $\mathbb Z$ si existe un número entero positivo $N$ tal que para todo $a\in \mathbb Z$ el conjunto $\{a+1, a+2, \ldots, a+N\}$ tiene intersección no vacía con $S$ .

Sea $x$ sea un punto de un sistema dinámico $(X, T)$ .

$\bullet$ En órbita de $x$ se define como $O_x=\{T^nx:\ n\in\mathbb Z\}$ .

$\bullet$ Decimos que un punto $x\in X$ es casi periódica si para todos los barrios $U$ de $x$ sur $X$ el conjunto $\{n\in \mathbb Z:\ T^nx\in U\}$ es relativamente denso en $\mathbb Z$ .

$\bullet$ Nosotros decimos $x$ periódico si la órbita de $x$ es finito.

Claramente, cualquier punto periódico es casi periódico.

Pregunta 1

Suponiendo que $(X, T)$ es un sistema dinámico con $|X|=|\mathbb N|$ ¿es necesario que todo punto casi periódico sea también periódico?

Desconozco la respuesta a la pregunta anterior. De hecho, no conozco ningún "buen" ejemplo de sistema dinámico contable. Si conoce algún buen ejemplo, no dude en compartirlo.

Pregunta 2

Suponiendo que $(X, T)$ es un sistema dinámico con $|X|=|\mathbb N|$ ¿es necesario que $X$ tiene un punto periódico?

La respuesta a esta pregunta es afirmativa. Esto se debe a que sabemos que existe una $T$ -medida de probabilidad invariante $\mu$ en $X$ . Desde $X$ es contable, existe un punto $x$ sur $X$ tal que $\mu(x)>0$ . Ahora la órbita de $x$ debe ser finito, pues de lo contrario, por la $T$ -invarianza de $\mu$ tendríamos que $\mu(X)=\infty$ .

¿Podemos dar un argumento que no pase por la teoría de la medida y sea de naturaleza puramente topológica?

Answer 1

Aquí está la respuesta reescrita para evitar la inducción transfinita.

Dado un espacio topológico $X$ , dejemos que $X'$ denotan el conjunto de puntos no aislados de $X$ .

Definición. Dado un homeomorfismo $T: X\to X$ un punto $x\in X$ se llama recurrente (con respecto a $(X,T)$ ) si para cada barrio $U$ de $x$ existe $n\ge 1$ tal que $T^n(x)\in U$ .

Esta condición es más débil que casi periódica .

Lema 1. Sea $X$ sea un espacio metrizable compacto contable, $T: X\to X$ un homeomorfismo. Entonces cada punto recurrente $x\in X$ es periódica.

Prueba. Consideremos la colección ${\mathcal I}_x$ de todos los compactos $T$ -subconjuntos invariantes de $X$ que contiene $x$ . Sea $C_x$ denotan la intersección de todos los miembros de ${\mathcal I}_x$ . Claramente, $C_x\in {\mathcal I}_x$ . Afirmo que $x$ es un punto aislado de $C_x$ . En efecto, puesto que $C_x$ es contable y metrizable compacta, tiene algunos puntos aislados, $C'_x\ne C_x$ . Si $x\in C'_x$ entonces $C'_x\in {\mathcal I}_x$ y $C'_x$ es estrictamente menor que $C_x$ que es una contradicción. Por lo tanto, $x$ está aislado en $C_x$ . El punto $x$ sigue siendo recurrente con respecto a $(C_x,T)$ . Desde $x$ está aislado en $C_x$ , $\{x\}$ es una vecindad de $x$ sur $C_x$ . Por tanto, por recurrencia, existe $n\ge 1$ tal que $T^n(x)\in \{x\}$ es decir $T^n(x)=x$ es decir $x$ es $T$ -periódico. qed

Esto responde a la Pregunta 1. Para responder a la pregunta 2, demostraré un resultado más sólido:

Lema 2. Sea $X$ sea un espacio topológico metrizable compacto no vacío, $T: X\to X$ es un homeomorfismo. Entonces $X$ contiene puntos recurrentes. Equivalentemente, $X$ contiene un $T$ -invariante subconjunto compacto no vacío $X_0$ de forma que cada $T$ -órbita en $X_0$ es denso en $X_0$ .

Prueba. Consideremos el posonjunto ${\mathcal I}$ de todos los no vacíos $T$ -subconjuntos compactos invariantes de $X$ (con el orden parcial dado por la inclusión). Claramente, la intersección de los miembros de cada subconjunto totalmente ordenado (no vacío) en ${\mathcal I}$ pertenece a ${\mathcal I}$ . Por lo tanto, por el Lemma de Zorn, ${\mathcal I}$ contiene un elemento mínimo $X_0$ . Por la minimalidad, cada $T$ -órbita en $X_0$ es denso (en caso contrario, toma el cierre de un no denso $T$ -órbita en $X_0$ ). qed

Combinando los dos lemmata, vemos que si $X$ es contable, compacta, metrizable, no vacía, entonces para cada homeomorfismo $T: X\to X$ existe un $T$ -punto periódico.