Cohomología de grupos de Lie y álgebras de Lie

Question

La longitud de esta pregunta se me ha ido un poco de las manos. Le pido disculpas.

Básicamente, se trata de una pregunta sobre la relación entre la cohomología de los grupos de Lie y las álgebras de Lie, y quizá los períodos.

Sea $G$ sea un grupo de Lie reductor complejo (conexo) y sea $T$ sea un toro maximal de $G$ . Establecer $\mathfrak{g}=Lie(G)$ y $\mathfrak{t}=Lie(T)$ . Observe que $\mathfrak{t}$ tiene una estructura integral natural: $\mathfrak{t}=\mathfrak{t}(\mathbf{Z})\otimes_\mathbf{Z}\mathbf{C}$ donde $\mathfrak{t}(\mathbf{Z})$ está formado por todos $x$ tal que $\exp(2\pi ix)$ es la unidad $e$ de $G$ .

Todo lo que hay que saber sobre $G$ puede extraerse del diagrama de raíces (covariante) de $G$ formado por $\mathfrak{t}(\mathbf{Z})$ la subred $M$ correspondiente a la componente conexa del centro de $G$ (se trata de un sumando directo) y el sistema coroot $R$ de $G$ que está incluido en algún subretículo complementario de $\mathfrak{t}(\mathbf{Z})$ . Por ejemplo, $\pi_1(G)$ es el cociente de $\mathfrak{t}(\mathbf{Z})$ por el subgrupo abarcado por $R$ . Véase, por ejemplo, Bourbaki, Groupes et alg`ebres de Lie IX, 4.8-4.9 (Bourbaki da una clasificación en términos de grupos compactos, pero esto es equivalente).

La cuestión es cómo extraer información sobre la cohomología de $G$ (como espacio topológico) a partir de lo anterior.

Para la cohomología compleja no hay ningún problema. Sólo necesitamos $\mathfrak{g}$ restringiendo el complejo formado por las formas invariantes de la izquierda a la unidad de $G$ obtenemos el complejo cochain estándar de $\mathfrak{g}$ .

El siguiente paso sería la cohomología racional. Una posible conjetura sobre cómo obtenerla sería observar que $\mathfrak{g}$ está definida sobre $\mathbf{Q}$ . Así que se puede encontrar un álgebra $\mathfrak{g}(\mathbf{Q})$ tal que $\mathfrak{g}=\mathfrak{g}(\mathbf{Q})\otimes_\mathbf{Q}\mathbf{C}$ . Podemos identificar $H^{\bullet}(\mathfrak{g},\mathbf{C})=H^{\bullet}(\mathfrak{g}(\mathbf{Q}),\mathbf{Q})\otimes\mathbf{C}$ y así obtenemos dos subespacios vectoriales racionales en la cohomología compleja de $G$ . Una es la imagen de $H^{\bullet}(G,\mathbf{Q})$ y la otra es la imagen de $H^{\bullet}(\mathfrak{g}(\mathbf{Q}),\mathbf{Q})$ en $$H^{\bullet}(\mathfrak{g}(\mathbf{Q}),\mathbf{Q})\to H^{\bullet}(\mathfrak{g},\mathbf{C})\to H^\bullet(G,\mathbf{C})$$ donde la última flecha es el isomorfismo de comparación mencionado anteriormente.

1). ¿Cuál es, en su caso, la relación entre estos subespacios? Más concretamente, apriori el segundo subespacio denota la elección de $\mathfrak{g}(\mathbf{Q})$ (no veo por qué no debería, pero si de hecho no lo hace, me interesaría mucho saberlo) y la pregunta es si hay una $\mathfrak{g}(\mathbf{Q})$ tal que la relación entre los anteriores subespacios de $H^{\bullet}(G,\mathbf{C})$ es fácil de describir.

Obsérvese que esto es algo parecido a lo que ocurre cuando comparamos la cohomología del complejo algebraico de De Rham con la cohomología racional. Supongamos que tenemos una variedad algebraica suave proyectiva o afín definida sobre $\mathbf{Q}$ su cohomología algebraica de Rham (es decir, la (hiper)cohomología del complejo de Rham de las láminas) se sitúa dentro de la cohomología compleja, pero ésta no es la misma que la imagen de la cohomología racional topológica. A grandes rasgos, la diferencia entre ambas se mide por periodos, por ejemplo, como los definen Kontsevich y Zagier.

2). Si la pregunta 1 tiene una respuesta razonable, entonces ¿qué pasa con la red integral en $H^{\bullet}(G,\mathbf{C})$ ? Una vez más, una suposición ingenua sería tomar una $\mathfrak{g}(\mathbf{Z})$ tal que $\mathfrak{g}(\mathbf{Z})\otimes\mathbf{C}=\mathfrak{g}$ . En la actualidad, no estoy seguro de que exista una forma integral de este tipo para cualquier reductor $G$ (y me interesaría mucho saberlo), pero en cualquier caso existe para $SL(n,\mathbf{C})$ . Tomando el complejo estándar de $\mathfrak{g}(\mathbf{Z})$ y extendiendo los escalares obtenemos una red en $H^{\bullet}(\mathfrak{g},\mathbf{C})\cong H^{\bullet}(G,\mathbf{C})$ . ¿Hay alguna opción de $\mathfrak{g}(\mathbf{Z})$ para la que esta red está relacionada con la imagen de la cohomología integral en $H^\bullet(G,\mathbf{C})$ de alguna manera agradable?

3). Si incluso la pregunta 2. tiene una respuesta razonable, entonces ¿qué pasa con la propia cohomología integral? Aquí, por supuesto, la respuesta es interesante incluso hasta el isomorfismo. Una suposición muy ingenua sería tomar una forma integral apropiada $\mathfrak{g}(\mathbf{Z})$ como en la pregunta 2 y calcular la cohomología integral del complejo estándar resultante.

Answer 1

En la pregunta 1, parece que el subespacio $H^*(g(Q))$ en $H^*(g(C))$ depende efectivamente de la forma racional de g. Consideremos el ejemplo de $sl(3)$ y dos formas racionales, $su(3,Q)$ y $sl(3,Q)$ y mira las clases fundamentales en $H^8$ (es decir, los generadores de la máxima potencia exterior). Una base de $su(3,Q)$ es $i(E_{11}-E_{22}), i(E_{22}-E_{33}), E_{12}-E_{21}, E_{13}-E_{31}, E_{23}-E_{32}, i(E_{12}+E_{21}), i(E_{13}+E_{31}), i(E_{23}+E_{32})$ . Como tenemos 5 factores de i, las dos clases fundamentales difieren en un factor de i (hasta factores racionales).

Answer 2

Esto llega un poco tarde y no es una respuesta completa a su pregunta, pero puede ser interesante.

En relación con el punto 1) Me gustaría proponer el siguiente refinamiento natural que evita los problemas mencionados en la respuesta de Pavel Etingof. Si se desea conocer la relación entre la cohomología del grupo y el álgebra de Lie sobre $\mathbb{Q}$ debe trabajar con $\mathbb{Q}$ -formas de ambos. Visite $G_{\mathbb{Q}}$ una forma de $G$ definido sobre $\mathbb{Q}$ y toma $\mathfrak{g}_{\mathbb{Q}}$ el álgebra de Lie asociada (en el sentido de los grupos algebraicos). Entonces se quiere comparar la cohomología algebraica de de Rham de $G_{\mathbb{Q}}$ con la cohomología del álgebra de Lie de $\mathfrak{g}_{\mathbb{Q}}$ . Como señaló Pavel Etingof, estos $\mathbb{Q}$ -de la cohomología de $G$ en $\mathbb{C}$ dependen de la elección de la forma. Quizá exista una fórmula explícita que a partir de un cociclo en $H^1_{\text{ét}}(\mathbb{Q},\operatorname{Aut}G)$ produce los factores que relacionan los subespacios - el factor $i$ en la respuesta de Pavel Etingof está sin duda relacionada con la definición de $SU(3)$ en términos de la involución de conjugación compleja.

En relación con el punto 2) lo mismo que en el punto 1) se aplica a $\mathbb{Z}$ -formas: elija una $\mathbb{Z}$ -forma de $G$ y tomar su álgebra de Lie asociada. Lo más probable es que acabes obteniendo la de Kostant $\mathbb{Z}$ -formas mencionadas en el comentario de Scott Carnahan.

En el caso especial $GL_n$ y cohomología en grado superior, su pregunta 2) y 3) se discuten en un preprint de Annette Huber y Wolfgang Soergel, La versión arXiv puede consultarse aquí. El objetivo de ese trabajo es comparar diferentes estructuras integrales en la cohomología superior de $GL_n$ : una estructura integral procede de la $\mathbb{Z}$ -forma de $\mathfrak{gl}_n$ otra a partir de las suspensiones de las clases de Chern en cohomología de Rham, y la tercera a partir del dual de la clase fundamental en cohomología singular. Elaboran los factores de comparación explícitos. La comparación entre la cohomología de Rham y la singular implica el período habitual $2\pi i$ y la comparación entre la cohomología de De Rham y el subespacio procedente de la cohomología del grupo de Lie es, de hecho, un factor racional (así que no hay más periodos).

El factor racional en la comparación entre el álgebra de Lie y la cohomología de de Rham que se elabora en el artículo de Huber-Soergel es $\prod_{j=1}^n(j-1)!$ . Es interesante observar que estos mismos factores aparecen al comparar la homotopía y la homología de $GL_n(\mathbb{C})$ - el mapa de Hurewicz envía un generador de $\pi_{2j-1}GL_n(\mathbb{C})$ a algún múltiplo de un generador de $H_{2j-1}(GL_n(\mathbb{C}),\mathbb{Z})$ y este múltiplo es $(j-1)!$ . Ahora estoy bastante convencido de que esta es la forma en que se relacionan los subespacios en caso de que $GL_n$ - las clases de cohomología de grupo en grado $2j-1$ debe ser el $(j-1)!$ -ésimo múltiplo de los generadores de la cohomología del álgebra de Lie. Uno esperaría que tal descripción se aplique a otros grupos de Lie y que el factor racional pueda ser explicado por alguna combinatoria de grupos de Weyl en general, pero hay algo de trabajo por hacer para eso....

Respecto a los periodos existe una razón filosófica por la que la comparación entre la cohomología de de Rham y la cohomología singular sólo debe implicar múltiplos racionales de potencias de $2\pi i$ . Si $G$ es un grupo reductor sobre $\mathbb{Q}$ podemos verlo como una variedad y como tal tiene un motivo Tate mixto; por lo tanto, todos los periodos deben ser múltiplos racionales de potencias de $2\pi i$ .