Consistencia de OLS cuando no hay intercepción

Question

Supongamos que tengo un modelo $y_i = \beta_0 + \beta_1 x_i + e_i$ pero en su lugar estimo $y_i = \beta_1 x_i + u_i$ utilizando OLS. Es decir, ignoro el intercepto. Calculando el álgebra, basándonos en esta entrada tenemos

$\hat{\beta}_1 = \beta_1 + \beta_0 \frac{\sum_{i=1}^n x_i}{\sum_{i=1}^n x_i^2} + \frac{\sum_{i=1}^n x_i u_i}{\sum_{i=1}^n x_i^2} $

Sé cómo cuidar el tercer término, pero ¿pueden ayudarme a verificar si lo siguiente es correcto?

Puedo escribir

$$ \frac{\sum_{i=1}^n x_i}{\sum_{i=1}^n x_i^2} = \frac{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i}{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i^2} $$

Utilizando el teorema del mapeo continuo, el numerador converge en probabilidad a $E[x_i]$ y el denominador $E[x_i^2]$ .

Supongamos que demerito los datos. Entonces $E[x_i] = 0$ . ¿Significa eso que $\hat{\beta}_1$ es coherente incluso si ignoro el intercepto siempre y cuando rebaje $x_i$ pero no $y_i$ ?

Answer 1

El intercepto se representa en la regresión como un predictor con el valor de 1 para cada observación, las matemáticas funcionan exactamente igual que con los demás predictores. Así que la prueba de consistencia es la misma, y tiene los mismos supuestos, es decir, el modelo es correcto . En este caso, es decir, que el verdadero intercepto es cero.

Cuando degradas $x_i$ se asegura de que el intercepto es realmente cero, por construcción. Así que sí, en este caso $\hat{\beta}_1$ es consistente, si lo es en el modelo sin degradar e incluyendo el intercepto.