Conversión de un mapa lineal en un espacio polinómico en una matriz

Question

Esta es la problema Estoy trabajando en ello. Tengo parte del trabajo para ello:

T1 = t + 1
Tt = t + 2t + 3 = 3t + 3
Tt^2 = 2t^2 + 4t + 9

¿Cuál es el proceso para obtener estas ecuaciones a partir del mapa lineal? A partir de las ecuaciones puedo convertirlo en una representación matricial, pero no estoy seguro de cómo se obtienen. Por favor, sé muy específico en cuanto a qué valores se introducen y dónde. Además, en este contexto, ¿qué es f(t)? En ningún sitio se define f, así que ¿cómo voy a saber a qué se evalúa f(3)? ¿Cómo es el valor de f(3) diferente para T1 y Tt? ¿No debería ser constante, ya que no depende de t en absoluto?

Answer 1

En la definición de $T$ , $f$ es un elemento arbitrario de $P_2(\mathbb R)$ es decir, es un polinomio de segundo grado con coeficientes reales. Para encontrar una matriz para $T$ primero tiene que elegir una base para $P_2(\mathbb R)$ que tu profesor ha hecho por ti en esas tres ecuaciones, a saber $\{1,t,t^2\}$ . Las tres ecuaciones se obtienen introduciendo cada uno de estos polinomios como $f$ en la fórmula para $(Tf)(t)$ .

Tomemos el tercero como ejemplo, $$\begin{align} (Tf)(t)=(Tt^2)(t)&=t\cdot(t^2)'(t)+t\cdot (t^2)(2)+(t^2)(3) \\ &=t\cdot 2t+t\cdot2^2+3^2 \\ &=2t^2+4t+9. \end{align}$$