Planos tangentes 4D

Question

A mi entender, los planos tangentes en el espacio 3d tienen la forma ax+by+cz+d = 0 .

Si tenemos una función

$$f(x,y,z) = w$$

¿cómo representaríamos un plano tangente en el espacio 4D para puntos 4D de la forma siguiente? $$(x,y,z,f(x,y,z))$$

escrito de otro modo:

$$(x,y,z,w)$$

(el gradiente existe en 3 ejes para el valor w ).

Gracias.

Answer 1

¿Qué te parece $ax+by+cz+dw = e$ ?

Supongo que el único problema viene cuando tienes 13 dimensiones, entonces te quedas sin alfabetos ... Esperemos que para entonces, deje que las coordenadas sean $x_i$ y los coeficientes sean $\alpha_i$ .

Answer 2

La fórmula del hiperplano tangente en $\mathbb{R}^n$ adopta siempre una forma simple siempre que la función $g(\vec x)$ es diferenciable. En un punto $\vec x_0$ la ecuación para el hiperplano tangente es

$$\nabla g(\vec x_0) \cdot (\vec x - \vec x_0) = 0.$$

Para ser explícitos, se trata de la tangente al conjunto $g(\vec x ) = 0$ (o cualquier otra constante). La intuición es que el gradiente debe ser siempre normal al plano tangente. Si te interesa la tangente a alguna gráfica de una función $f$ (como tú), sólo tienes que tomar $g(\vec x) = x_n - f(x_1,\ldots,x_{n-1})).$ Escribiendo esto en dimensiones inferiores, y también en el caso de que te interese $(n=4)$ obtenemos las fórmulas conocidas:

$$ a(x-x_0) + (y-f(x_0)) = 0, \qquad a= {\partial f \over \partial x}(x_0) $$ (la anterior es la recta tangente al punto $(x_0,f(x_0))$ en la curva $f(x) = y$ .) $$ a(x-x_0) + b(y-y_0) + (z-f(x_0,y_0)) = 0, \qquad a= {\partial f \over \partial x}(x_0,y_0), \qquad b= {\partial f \over \partial y}(x_0,y_0) $$ (la anterior es la recta tangente al punto $(x_0,y_0,f(x_0,y_0))$ en la superficie $f(x,y) = z$ .) Y por último, $$ a(x-x_0) + b(y-y_0) + c(z-z_0) +(w-f(x_0,y_0,z_0)) = 0, \qquad a= {\partial f \over \partial x}(x_0,y_0,z_0), \qquad b= {\partial f \over \partial y}(x_0,y_0,z_0),\qquad c= {\partial f \over \partial z}(x_0,y_0,z_0) $$ da el hiperplano tangente a la hipersuperficie en $\mathbb{R}^4$ definido por $(x,y,z,f(x,y,z))$ .

Answer 3

En general, si $F:M^k\to\mathbb{R}^n$ es una incrustación, si $v_i$ span $T_pM$ entonces podemos representar el espacio tangente a $p$ por el espacio afín $F(p) + \mbox{span}\{dFv_1,dFv_2,\ldots,dFv_k\}$ .

En este caso, $F:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^4$ mapas $\mathbb{R}^3$ a su gráfico. En particular, $(x,y,z)\mapsto F(x,y,z) = (x,y,z,f(x,y,z))$ . El diferencial es $$dF = \begin{pmatrix} I \\ \nabla f\end{pmatrix}$$ por lo que el espacio tangente a $F(x,y,z)$ viene dado por $$F(x,y,z) + \mbox{span}\{(1,0,0,f_x),(0,1,0,f_y),(0,0,1,f_z)\}$$