Como dice el título: Quiero calcular la transformada de Fourier (en el sentido distribucional) de $f(x)=e^{-i\sqrt{1+x^2}}$ , $x\in \mathbb{R}^n$ - decir $n=1$ por el momento. No tengo ni idea de cómo conseguirlo: Lo he intentado con la maquinaria habitual ("aproximación ODE" como para la gaussiana, cálculos explícitos, estimaciones para integrales oscilatorias, análisis complejo) pero no soy capaz de dar con una sugerencia útil. ¿Alguna pista o resultados parciales? ¿Hay algún resultado para conectar esta transformada con la de $e^{-i|x|}$ ¿al menos en términos asintóticos? De hecho, estoy interesado en una estimación del parámetro $\lambda >0$ en la transformada de Fourier de $f_{\lambda}(x)=e^{-i\lambda\sqrt{1+x^2}}$ . Dada la analogía con $$ \mathcal{F}[e^{-i\lambda|\cdot|}](y)=\frac{\lambda}{y^2+\lambda^2},$$ Espero un decaimiento similar para $\lambda$ en $\mathcal{F}[f_{\lambda}]$ . ¿Hay alguna forma de demostrarlo?
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Tenemos $$ F(k;\lambda)=\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-ikx-i\lambda\sqrt{1+x^2}}dx=\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-ikx}e^{-i\lambda\varphi(x)}dx\,, $$ con $$ \varphi(x)=\sqrt{1+x^2}\,. $$ Desde $$ \varphi(x)=1+\frac{x^2}{2}+\cdots $$ para pequeños $x$ es decir, cerca del punto estacionario $x_0=0$ de $\varphi(x)$ . En aproximación a la fase estacionaria da como resultado $\lambda\to\infty$ , $$ F(k;\lambda)\sim e^{-ik x_0}e^{-i\lambda\varphi(x_0)}\sqrt{\frac{2\pi}{i\varphi''(x_0)}}=e^{-i\lambda}\sqrt{\frac{2\pi}{i\lambda}}\,, $$ hasta correcciones $o(\lambda^{-1/2})$ . Por lo tanto, de hecho la decadencia como $\lambda\to\infty$ es un comportamiento similar al poder $|F(k,\lambda)|\approx 2\pi/\sqrt{\lambda}$ como parece sugerir OP. Comparando con la transformada de Fourier de $e^{-\lambda|x|}$ que decae como $1/\lambda$ en cambio, vemos que el diferente comportamiento de la función cerca de $x=0$ influye en la potencia específica que aparece en la asíntota, pero no en el comportamiento cualitativo de la ley de potencia.
Para $\lambda=0$ en su lugar $$ F(k;0)=\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-ikx} dx=2\pi \delta(k)\,. $$
La transformada de Fourier de $e^{-i \lambda |x|}$ no es $\lambda/(\omega^2 + \lambda^2)$ es $$(e^{-i \lambda |x|}, e^{i \omega x}) = \frac {2 i \lambda} {\omega^2 - \lambda^2} + 2 \pi |\lambda| \hspace {1px} \delta(\omega^2 - \lambda^2),$$ donde $1/(\omega^2 - \lambda^2)$ es el funcional p.v.
Sea $f(x) = e^{-i \lambda \sqrt {x^2 + 1}}$ . Desde $f(x) - e^{-i \lambda |x|} \to 0$ cuando $x \to \pm \infty$ se deduce que $\mathcal F[f]$ también es un funcional singular. El valor que da cuando se aplica a una función de prueba puede estimarse como $$(\mathcal F[f], \phi) = (f, \mathcal F[\phi]) = \\ \int_{\mathbb R} f(x) \, \mathcal F[\phi](x) \, dx = e^{-i (\lambda + \pi/4)} \sqrt {\frac {2 \pi} \lambda} \, \mathcal F[\phi](0) + o(\lambda^{-1/2}) = \\ e^{-i (\lambda + \pi/4)} \sqrt {\frac {2 \pi} \lambda} \int_{\mathbb R} \phi(x) \, dx + o(\lambda^{-1/2}), \quad \lambda \to \infty.$$
El integrando de OP en el título para $\lambda>0$ no es integrable ni siquiera como integral impropia . Por esta razón, en esta respuesta supondremos que $${\rm Im}(\lambda)~<~0$$ para hacer convergente la integral de OP $^1$ . OP está interesado en la asintótica para ${\rm Re}(\lambda)\to \infty$ . La integral de OP dice entonces:
$$F(k;\lambda)~:=~\int_{\mathbb{R}} \mathrm{d}x ~e^{ -i (\lambda\sqrt{x^2+1}+kx)} ~=~\int_{\mathbb{R}} \mathrm{d}x ~e^{ -i\lambda\sqrt{x^2+1}}\cos(kx) ~=~2\int_{\mathbb{R_+}} \mathrm{d}x ~e^{-i\lambda\sqrt{x^2+1}}\cos(kx)$$ $$~\stackrel{w=\sqrt{x^2+1}-1}{=}~2e^{-i\lambda}\int_{\mathbb{R_+}} \mathrm{d}w\frac{1+w}{\sqrt{w(2+w)}} ~e^{-i\lambda w}\cos(k\sqrt{w(2+w)})$$ $$~\stackrel{w=\frac{v}{i\lambda}}{=}~\frac{2e^{-i\lambda}}{\sqrt{i\lambda}}\int_{\mathbb{R_+}} \mathrm{d}v\frac{1+\frac{v}{i\lambda}}{\sqrt{v(2+\frac{v}{i\lambda})}} e^{-v}\cos(k\sqrt{\frac{v}{i\lambda}(2+\frac{v}{i\lambda})})$$ $$~=~\sqrt{\frac{2}{i\lambda}}e^{-i\lambda}\int_{\mathbb{R_+}} \frac{\mathrm{d}v}{\sqrt{v}}~e^{-v}\left( 1+ (\frac{3}{4}-k^2)\frac{v}{i\lambda}+O(\lambda^{-2})\right)$$ $$ ~=~\sqrt{\frac{2\pi}{i\lambda}}e^{-i\lambda} \left( 1+ (\frac{3}{4}-k^2)\frac{1}{2i\lambda}+O(\lambda^{-2})\right). $$
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$^1$ Una regularización similar parece necesaria para salvar la última fórmula de OP. Si suponemos ${\rm Im}(\lambda)<0$ entonces el LHS de la última fórmula de OP dice $$ \int_{\mathbb{R}} \mathrm{d}x ~e^{ -i (\lambda|x|+kx)} ~=~\int_{\mathbb{R}_+} \mathrm{d}x ~e^{ -i (\lambda+k)x} ~+~(k\leftrightarrow -k) ~=~\frac{i}{\lambda+k} ~+~(k\leftrightarrow -k) ~=~\frac{2i\lambda}{\lambda^2-k^2}. $$ Esto puede reescribirse aún más con la ayuda de la función Teorema de Sokhotski-Plemelj : $$\begin{align}\int_{\mathbb{R}} \mathrm{d}x ~e^{ -i \{({\rm Re}(\lambda) - i0^+)|x|+kx\}} &~=~ \frac{i}{{\rm Re}(\lambda) \!-\! i0^+\!+\!k} ~+~(k\leftrightarrow -k)\cr &~=~P\frac{i}{{\rm Re}(\lambda)\!+\!k} -\pi\delta({\rm Re}(\lambda)\!+\!k) ~+~(k\leftrightarrow -k).\end{align}$$
