¿Matemáticas inversas de la (co)homología?

Question

Fondo

En el ejercicio 2.1.16b de Hartshorne (¡tarea para casa!) se pide demostrar que si $0 \rightarrow F \rightarrow G \rightarrow H \rightarrow 0$ es una sucesión exacta de láminas, y F es flasque, entonces $0 \rightarrow F(U) \rightarrow G(U) \rightarrow H(U) \rightarrow 0$ es exacta para cualquier conjunto abierto $U$ . Mi solución a esto implicaba el axioma de elección de (lo que parece ser) una manera esencial.

Básicamente, está pidiendo $G(U) \rightarrow H(U)$ sea suryectiva cuando sólo se sabe que $G \rightarrow H$ es localmente suryectiva. Normalmente, es posible que no se puedan pegar las preimágenes locales de secciones en $H(U)$ en una sección de $G(U)$ pero como $F$ es flasque, se puede extender la diferencia en las superposiciones a una sección global. Esta observación trata de pegar finitamente muchos preimages locales juntos. El lema de Zorn demuestra que se pueden pegar cosas incluso si la cubierta abierta de $U$ es infinito.

Ahora bien, no he estudiado realmente la cohomología de gavillas, pero la idea que tengo es que detecta el fallo del functor de secciones globales para ser exacto correcto. Así que si ni siquiera puedes demostrar que la cohomología de gavilla desaparece para gavillas flasque sin el axioma de elección, parece que gran parte de la maquinaria de la cohomología se iría por la ventana.

A nivel de teoría de conjuntos, parece que aquí ocurre algo interesante. Esencialmente, el axioma de elección es una declaración local-global (aunque nunca había pensado en ello de esta manera antes de este problema), a saber, que si $f:X \rightarrow Y$ es una suryección puedes encontrar una manera de pegar las preimágenes $f^{-1}(\{y\})$ de una suryección para formar una sección del mapa $f$ .

Esto me lleva a mi

Preguntas

¿Puede demostrarse el mencionado ejercicio de Hartshorne sin el axioma de elección?

¿Cuánto depende la maquinaria homológica de la elección?

¿Ha echado algún matemático inverso un vistazo a la cohomología de gavillas como tema a "deconstruir"?

¿Ha pensado algún teórico constructivo de conjuntos en utilizar la tecnología cohomológica para hablar de hasta qué punto falla la elección en su tipo de teoría intuicionista de conjuntos? (¡Parece que los modelos de topos de tales teorías de conjuntos podrían establecer una conexión muy fuerte con las láminas y su cohomología!)

Mi google-fu es bastante débil, pero las búsquedas de "cohomología matemática inversa" no parecen traer nada.

Answer 1

No tengo Hartshorne, así que no puedo abordar los detalles de este caso. Sin embargo, hay un documento muy interesante de Andreas Blass La cohomología detecta fallos del axioma de elección (TAMS 279, 1983, 257-269), que aborda cuestiones de este tipo y debería, al menos, ponerle en el buen camino.

Answer 2

¿Ha echado algún matemático inverso un vistazo a la cohomología de gavillas como tema a "deconstruir"?

Colin McLarty ha realizado un estudio sobre lo que se necesita para definir la cohomología de funtores derivados (con la cohomología de gavillas como un caso especial dado un topos de gavillas). Él encuentra que la aritmética de orden finito (la unión de $Z_n$ para $n=1,2,\ldots$ ) es suficiente

Las grandes estructuras de Grothendieck basadas en la aritmética de orden finito
Colin McLarty

(Enviado el 9 feb 2011 (v1), revisado por última vez el 30 abr 2014 (esta versión, v4))

Resumen: Herramientas de cohomología de gran estructura como las topos y las categorías derivadas se mantienen cercanas a la aritmética en la práctica, aunque los fundamentos existentes para ellas van más allá de la teoría fuerte de conjuntos ZFC. Formalizamos la idea práctica fundamentando los teoremas de EGA y SGA, además de las categorías derivadas, al nivel de la aritmética de orden finito. Se trata del fundamento más débil posible para estas herramientas, puesto que un topos elemental de conjuntos con infinito ya es así de fuerte.
http://arxiv.org/abs/1102.1773

Para la cohomología de Zariski de esquemas noetherianos, se puede utilizar la aritmética de segundo orden

Cohomología de Zariski en aritmética de segundo orden
Colin McLarty

(Enviado el 2 jul 2012 (v1), revisado por última vez el 25 jul 2012 (esta versión, v2))

Resumen: La cohomología de tramas coherentes y tramas de grupos abelianos sobre esquemas noetherianos se interpreta en aritmética de segundo orden mediante un teorema de finitud. Se demuestra que este teorema de finitud falla para la topología etale incluso en esquemas noetherianos.
http://arxiv.org/abs/1207.0276

Answer 3

En cualquier esquema afín y, por tanto, en cualquier esquema con una cubierta afín finita (que creo que la mayoría de la gente encontraría una clase razonable de esquemas a los que restringirse), cualquier cubierta abierta tiene una subcubierta finita. Esta propiedad suele denominarse cuasicompacto en lugar de compactos por razones técnicas.

No tengo Hartshorne conmigo, así que no puedo recitar capítulo y versículo, pero sé que esto se discute en alguna parte en Hartshorne; también está cubierto por esta entrada de nLab aunque sospecho que eso es más técnico de lo que buscas.