Sobre el prefactor en la formulación de la integral de trayectoria

Question

El propagador $K$ de ( $x_a,t_a$ ) a ( $x_b,t_b$ ), definida por Gottfried, puede escribirse como $$ K(b,a) = F(t_b-t_a)\exp\left(\frac{i}{\hbar}S_{c}(b,a)\right) $$ donde $S_c$ es la acción clásica y $F(t_b-t_a)$ es la integral sobre todas las trayectorias desde el origen y hacia atrás, durante el intervalo $t_b-t_a$ y se conoce como prefactor en algunas literaturas.

He observado que el prefactor tanto para el oscilador armónico "normal" como para el oscilador conducido (con cualquier forzamiento arbitrario $f(t)$ ) es el mismo,

$$ F(t_b-t_a) = \sqrt{\frac{m\omega}{2\pi i\hbar \sin\omega(t_b-t_a)}} .$$

¿Existe alguna razón física o matemática para ello? ¿Cómo puedo justificar que este debe ser el caso para el oscilador conducido, sin pasar por un cálculo de 10 páginas usando el truco de Feynman de explotar la ley de composición y el hecho de que $F$ ¿es el propagador del origen al origen?

Answer 1

Sin duda hay una razón matemática:

1. La fuerza exterior $f$ aparece en el término lineal en la variable de posición $x$ de la acción $S[x]$ .

2. Cuando dividimos la variable integral de trayectoria $x~=~x_{\rm cl}+ y$ en una trayectoria clásica $x_{\rm cl}$ más fluctuación cuántica $y$ sabemos que la acción $S[x]~=~S[x_{\rm cl}]+ S_q[y]$ no tiene ningún término lineal en las fluctuaciones (porque el coeficiente de Taylor $\frac{\delta S}{\delta x}|_{x=x_{\rm cl}}~=~0$ del término lineal es el MOE clásico).

3. La acción cuántica $S_q[y]$ no depende de la trayectoria clásica $x_{\rm cl}$ ya que la acción $S[x]$ para el oscilador armónico tiene como mucho términos cuadráticos en $x$ . (Esto es importante ya que la trayectoria clásica $x_{\rm cl}$ depende implícitamente de la fuerza exterior $f$ .)

4. Por lo tanto, la acción cuántica $S_q[y]$ y la integral de trayectoria correspondiente $$ F(t_b-t_a) = \int_0^0 {\cal D}y~e^{\frac{i}{\hbar}S_q[y]} $$ no puede depender de la fuerza externa $f$ .

Referencias:

1. R.P. Feynman y A.R. Hibbs, Mecánica Cuántica e Integrales de Trayectoria, 1965; Problema 3.11.