¿Motivación de la definición "elemento fuertemente real" en grupo?

Question

Los elementos de los grupos finitos pueden dividirse en elementos reales / no reales . Lo cual es una definición bastante bien motivada: un elemento se llama real si todos los caracteres toman valores reales en él.
El requisito equivalente es: el elemento es conjugado con su inverso.

Definición: Hay una propiedad más fuerte: el elemento se llama fuertemente real si cumple las siguientes condiciones equivalentes:

• Es el elemento identidad o una involución o puede expresarse como producto de dos involuciones distintas (aquí una involución significa un elemento no identidad cuyo cuadrado es el elemento identidad).
• O es el elemento identidad o existe una involución que lo conjuga con su inverso.

Pregunta: ¿Cuál es la motivación de esa definición?

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Más información: Se sabe que el número de clases de conjugación reales es igual al número de los caracteres reales. Los caracteres reales pueden dividirse aún más mediante, por ejemplo Indicador Frobenius-Shur como caracteres reales/cuaterniónicos. Sin embargo, esta división de caracteres NO se refleja en la división de clases de conjugación en fuertemente reales. Véase por ejemplo MO ¿Existen clases de conjugación "reales" frente a "cuaterniónicas" en grupos finitos? , MO Si todas las clases de conjugación reales son fuertemente reales, entonces todos los irreps reales son "fuertemente reales"(simétricos), ¿cierto? , MO Elementos fuertemente reales de orden impar en grupos simples finitos esporádicos

Observaciones: Elementos reales y fuertemente reales en grupos simples finitos han sido muy estudiados, véase por ejemplo presentación Singh , arXiv:1104.3933 , arXiv:0809.4412 , arXiv:1303.6085

Answer 1

Los elementos reales de $G$ son exactamente esos elementos $x$ en $G$ tal que $x^g = x^{-1}$ para algún elemento $g \in G$ . También, $x$ es fuertemente real si es real y podemos encontrar $g$ como en el caso anterior, con la propiedad adicional de que $g^2 = 1$ . Por lo tanto, "fuertemente real" es un requisito más estricto que simplemente ser real.

La condición de que $x$ es real equivale a decir que $\chi(x)$ es un número real para todos los caracteres $\chi$ de $G$ . La definición anterior de "fuertemente real" es equivalente a la definición dada en la pregunta, pero es, creo, más limpia y concisa. La propiedad de ser fuertemente real no se refleja en los valores de los caracteres. Tenga en cuenta que $D_8$ y $Q_8$ tienen tablas de caracteres idénticas, pero en $D_8$ cada elemento es fuertemente real, y en $Q_8$ sólo dos elementos son fuertemente reales.

Answer 2

Los elementos fuertemente reales son importantes en varios teoremas de recuento, y desempeñan un papel importante en el famoso artículo de Brauer-:Fowler Annals "On groups of even order", ( circa 1955-56) que puede ser donde se definen por primera vez (aunque no lo he comprobado).