Secuencia de números reales positivos $(a_k)$ s.t. $\lim_{k \to \infty} a_k = 1$ y $\lim_{n \to \infty} a_1 a_2 \dots a_n = 0$

Question

Busco un ejemplo de una sucesión de números reales positivos $(a_k)$ con $\lim_{k \to \infty} a_k = 1$ tal que la secuencia $(p_n)$ definido como $p_n=a_1 a_2 \dots a_n$ tiene límite 0 ya que $n \to \infty$ .

¿Puede alguien proporcionarme un ejemplo concreto, o quizá alguna pista o propiedad útil de dicha secuencia?

Answer 1

Consideremos

$$a_k=\frac{k}{k+1}$$

entonces

• $a_k \to 1$
• $\prod a_i =\frac12\frac23...\frac{k-1}k\frac{k}{k+1}=\frac1{k+1}\to 0$

Answer 2

Equivalentemente está buscando $b_k = \ln (a_k)$ tal que $b_k\to 0$ y $\sum_k b_k\to -\infty$ .

$b_k=-\frac 1k$ se ajusta al proyecto de ley, produciendo $a_k = e^{-1/k}$ .

Answer 3

Sugerencia . Consideremos una secuencia tal que $0<a_k <1$ para todos $k$ pero aún así se acerca $1$ . De este modo, el producto será cada vez más pequeño.

Sin embargo, estás tratando de equilibrar las cosas. Si $a_k$ converge demasiado rápido a $1$ entonces el producto no divergirá hacia cero (será decreciente, pero estará acotado por encima por alguna $\varepsilon > 0$ ).

Answer 4

Cualquier $a_k$ tal que $0<a_k<1$ y $\sum (1-a_k)$ diverge lo hará.