Conectividad de puntos, pero el espacio no es $T_1$ ?

Question

Sea $M(I,X)$ denotan mapas continuos de $I\to X$ donde $I=[0,1]$ .

Mi texto quiere que demuestre que $x\sim y$ si existe un $\alpha\in M(I,X)$ donde $\alpha(0)=x$ y $\alpha(1)=y$ .

Esto suena ultra razonable. Pero entonces al probar la reflexividad dejamos que $\alpha(t)=x$ para todos $t\in I$ . Nunca se dice nada sobre $X$ siendo un $T_1$ ¿espacio? Entonces, ¿este mapa constante ni siquiera es necesariamente continuo? Dado que $\alpha^{-1}(x)=I$ que está cerrado, pero quizás $\{x\}$ está abierto y no cerrado?

Supongo que también estoy asumiendo implícitamente que están poniendo topología subespacial de Euclides en $I$ ?

Answer 1

Sea $f:X\to Y$ sea un mapa constante $f(X)=\{y\}$ . Entonces, para cualquier $U$ o bien $y\in U$ o $y\not\in U$ . Si $y\in U$ entonces $f^{-1}(U)=X$ es decir, la preimagen es todo el dominio de $f$ . Si $y\not\in U$ entonces $f^{-1}(U)=\emptyset$ . Sostiene que $X,\emptyset\in \tau_X$ por la definición de topología, por lo que el mapa constante es siempre continuo.