Restricción de $\mathcal O_X(D)$ a un divisor primo que ocurre en $D$

Question

Sea $X$ sea una variedad regular sobre un campo $k$ y considere $D=\sum_{i=1}^nn_iD_i$ un divisor en $X$ con $n_i\in \mathbb Z\backslash\{0\}$ y $D_i$ un divisor primo. Consideremos la gavilla invertible $\mathcal L = \mathcal O_X(D)$ . Me gustaría entender la restricción de $\mathcal L$ a uno de los divisores primos $D_i$ . Más concretamente, llamo restricción de $\mathcal L$ a $D_i$ el pullback de $\mathcal L$ mediante la inmersión cerrada $D_i \hookrightarrow X$ y denótelo por $\mathcal L_{|D_i}$ . Sigue siendo una gavilla invertible sobre $D_i$ ; debe ser isomorfo a algún $\mathcal O_{D_i}(\tilde{D})$ donde $\tilde D$ es un divisor en $D_i$ ? En caso afirmativo, ¿cómo $\tilde D$ se refieren a $D$ ?

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Como motivación, estoy tratando de entender el contraejemplo dado en la página 3, (2.6) observación (ii) de estas notas sobre variedades abelianas (véase la imagen recortada a continuación). En concreto, trato de entender por qué la restricción del haz de líneas considerado por el autor a $\{0\}\times X$ y $X\times \{0\}$ es trivial.

Answer 1

Sea $D=\sum n_jP_j$ sea un divisor en una variedad $Z$ con campo de funciones racionales $k(Z)$ El $P_j$ son hipersuperficies irreducibles, y $Q$ es otro, distinto del $P_j$ . Si $P_j\cap Q$ no es vacía, entonces es una hipersuperficie en $Q$ (posiblemente no irreducible, posiblemente no con multiplicidades uno, por lo que necesitamos representar localmente $P_j$ como el cero de una función racional $h$ tal que $Q$ no aparece en $div(h)$ , restringir $h$ a una función racional $h_Q\in k(Q)^*$ y leer en $div(h_Q)$ cuál es el divisor $P_j\cap Q$ ). Entonces $$O_Z(D)|_Q=O_Q(D\cap Q),\qquad D\cap Q=\sum n_j (P_j\cap Q)$$

Para $f\in k(Z)^*$ tal que $Q$ no aparece en $div(f)$ , dejemos que $f_Q$ sea la función racional $\in k(Q)^*$ obtenida restringiendo $f$ a $Q$ . Obtenemos $$(f O_Z(D))|_Q=O_Z(D-div(f))|_Q=O_Q( D\cap Q-div(f_Q))=f_Q \ O_Q(D\cap Q)=f_Q\ O( D)|_Q$$

Así, la restricción de la gavilla de funciones racionales es compatible con la equivalencia racional.

Si $Q$ aparece en $D$ Tomemos una función racional $g\in k(Z)^*$ tal que $Q$ no aparece en $D-div(g)$ entonces $O_Z(D)|_Q$ sólo se define módulo de equivalencia racional, a través de $$O_Z(D)|_Q \sim O_Z(D-div(g))|_Q=O_Q( (D-div(g))\cap Q)$$

$O_Z(D)$ es una gavilla de función racional : es lo que envía a cada conjunto abierto $U\subset Z$ a $$O_Z(D)(U)= \{ h\in k(Z)^*, div(h)\cap U+D\cap U\ge 0\}$$ Para una cobertura abierta $Z=\bigcup V_i$ y algunas funciones racionales $f_{ij}\in O_Z(V_i\cap V_j)^\times$ tal que $f_{ij}f_{jl}=f_{il}$ entonces $$L: U\mapsto L(U) = \{ (g_i)_i, g_i \in O_Z(V_i\cap U), g_i = f_{ij}g_j\}$$ es un haz de líneas, correspondiente a todas las láminas $f_{1l} O_Z(D)$ donde $D$ es el divisor tal que $D\cap V_i=div(f_{1i})$ .

Ver $L$ como la variedad $\bigcup_i V_i \times \overline{k}$ con funciones de transición $V_i \times \overline{k}\to V_j \times \overline{k}, (v,a)\to (v,f_{il}(v)a)$ entonces la restricción de $L$ a $Q$ tiene una formulación natural.