Supongamos que $f : [a,b] \to \mathbb{R}$ está limitada. Con una partición $P$ de la forma $a = x_0, \dots ,x_n = b$ de $[a,b]$ la suma de Riemann inferior es $L(f,P,[a,b]) := \sum_{i=1}^{n} (x_i - x_{i-1}) \inf_{[x_{i-1},x_i]} f$ . Entonces la integral inferior de Riemann es $L(f,[a,b]) := \sup_{P} L(f,P,[a,b])$ es decir, la integral de Riemann inferior es la suma de todas las sumas de Riemann inferiores. Definamos la sucesión $L(f,P_n,[a,b])$ donde $P_n$ es la partición de $[a,b]$ que se obtiene dividiendo $[a,b]$ en $2^n$ intervalos de igual tamaño. Quiero demostrar que $\lim_{n \to \infty} L(f,P_n,[a,b]) = L(f,[a,b])$ .
Este es mi enfoque hasta ahora: Dado que la lista que define la partición $P_{n-1}$ es una sublista de la lista que define la partición $P_n$ tenemos $L(f, P_{n-1}, [a,b]) \leq L(f,P_n, [a,b])$ . Es decir, la secuencia $L(f,P_n,[a,b])$ es monótona no decreciente. Como también tiene un límite superior de $L(f,[a,b])$ se deduce del teorema de convergencia monótona que $L(f,P_n,[a,b])$ es una sucesión convergente, y converge al mínimo superior de sus términos. Necesito demostrar que este límite es igual a $L(f,[a,b])$ . Aquí es donde me estoy atascando.
Sea el límite de $L(f,P_n,[a,b])$ sea $l$ . Es evidente que $l \leq L(f,[a,b])$ porque el sumo de un subconjunto es como máximo el sumo del conjunto original. Así que sólo necesito demostrar que $L(f,[a,b]) \leq l$ para completar la prueba. Es equivalente demostrar que para todo $\epsilon >0$ tenemos $L(f,[a,b]) > l - \epsilon$ . Para ello $\epsilon > 0$ . Desde $L(f,[a,b])$ es el sumo de las sumas inferiores de Riemann, existe una partición $P$ de $[a,b]$ tal que $L(f,P,[a,b]) > L(f,[a,b]) - \frac{\epsilon}{2}$ . Si puedo demostrar que existe $N \in \mathbb{N}$ tal que $L(f,P_N, [a,b]) \geq L(f,[a,b])$ y $|L(f,P_N,[a,b]) - l| < \frac{\epsilon}{2}$ entonces he terminado, ya que tendré como consecuencia que $|l - L(f,[a,b])| < \epsilon$ por la desigualdad del triángulo.
Intuitivamente, quiero utilizar la desigualdad del triángulo para mostrar una conexión entre cuatro "cosas". En primer lugar, tengo la secuencia $L(f,P_n,[a,b])$ que es creciente (o al menos no decreciente) para $L(f,[a,b])$ como $n$ se hace grande. Sé que puedo aproximar $L(f,[a,b])$ , lo segundo, con un margen $\epsilon$ de error, por $L(f,P,[a,b])$ , lo tercero, para alguna partición $P$ . Entonces sólo quiero mostrar que si voy lo suficientemente lejos en la secuencia $L(f,P_n,[a,b])$ los términos acaban siendo al menos tan grandes como $L(f,P,[a,b])$ . Una vez que se encuentran en ese umbral, los términos están dentro de un $\epsilon$ margen de error a $L(f,P,[a,b])$ y utilizando la desigualdad del triángulo para obtener una cota superior de la distancia entre $l$ la cuarta cosa, y $L(f,[a,b])$ estaría acabado. Pero, ¿cómo lo hago?
