¿Puedes demostrar que esta función es convexa? $\sqrt{2x_1^2+3x_2^2+x_3^2+4x_1x_2+7} + (x_1^2+x_2^2+x_3^2+1)^2$ .

Question

Mi análisis: Se puede demostrar que el segundo término es convexo de la siguiente manera. Básicamente es una composición de norma con una transformación afín a la potencia de cuatro: $(x_1^2+x_2^2+x_3^2+1)^2 = \|(x_1^2, x_2^2, x_3^2, 1)^T\|^4$ . Sabemos que (1) la norma es convexa (2) la composición de la norma como función convexa con una transformación afín es convexa y (3) elevar a la potencia de un número par, es decir, 4, preserva la convexidad de una función convexa. Por lo tanto, el término anterior es una composición de una función convexa no decreciente, es decir, potencia de cuatro, con una transformación afín de una norma y por lo tanto $(x_1^2+x_2^2+x_3^2+1)^2$ es convexa.

El primer plazo es un reto para mí. Sé que $2x_1^2+3x_2^2+x_3^2+4x_1x_2$ puede escribirse como $\mathbf{x}^T A \mathbf{x}$ donde $$ A= \left[ \begin{array}{ccc} 2 & 2 & 0 \\ 2 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right] $$

Es fácil comprobar que todos los valores propios de $A$ son estrictamente positivos, lo que hace que $\mathbf{x}^T A \mathbf{x}$ convexo. Por lo tanto, $2x_1^2+3x_2^2+x_3^2+4x_1x_2+7$ es convexa. Ahora, el problema es que la raíz cuadrada es cóncava y no conserva la convexidad. ¿Cómo debo proceder a partir de aquí?

Answer 1

Observe que $\mathrm{x} \mapsto f(\mathrm{x})$ es convexa si y sólo si $y \mapsto f(B\mathrm{y})$ es convexa para alguna matriz invertible $B$ . (Esto se debe a que la transformación lineal conserva las líneas).

Ahora, utilizando el teorema espectral, elija una matriz simétrica $B$ tal que $AB = BA$ y $A^{-1} = B^2$ . A continuación, con la transformación $\mathrm{x} = B\mathrm{y}$ vemos que la fórmula dada es igual a

$$ (|\mathrm{y}|^2 + 7)^{1/2} + (\mathrm{y}^{T} A^{-1}\mathrm{y} + 1)^2. $$

Ahora es más fácil trabajar con esta función, y no es difícil comprobar que cada término es convexo. Especialmente para el primer término, el siguiente cálculo puede ser útil:

Observación. Si $f : \Bbb{R}^n \to \Bbb{R}$ se define por $f(\mathrm{x}) = (|\mathrm{x}|^2 + c)^{1/2}$ para algunos $c \geq 0$ entonces $$ \operatorname{Hess}f = \frac{1}{f} ( I - (\nabla f) (\nabla f)^T). $$ En consecuencia, los valores propios de $\operatorname{Hess}f$ es $c/f^3$ con multiplicidad $1$ y $1/f$ con multiplicidad $n-1$ .

Answer 2

Esta función puede reformularse de la siguiente manera, \begin{align} & \sqrt{2(x_1+x_2)^2+x_2^2+x_3^2+7}+(x_1^2+x_2^2+x_3^2+1)^2 \\ &= \|(\sqrt{2}(x_1+x_2), x_2, x_3, \sqrt{7})^T\| + \|(x_1, x_2, x_3, 1)^T\|^4 \label{pvii:1r} \end{align}

où $\|.\|$ es 2-norma. La función reformulada anterior es la suma de dos funciones convexas. Aquí, $\|(\sqrt{2}(x_1+x_2), x_2, x_3, \sqrt{7})^T\|$ es una composición de una 2-norma con una transformación afín y es convexa. El segundo término $\|(x_1, x_2, x_3, 1)^T\|^4$ es una composición de una función de potencia par con potencia 4 que es convexa en $\mathbb{R}$ y no decreciente en $\mathbb{R^+}$ con una función de norma convexa y no negativa. Por lo tanto, podemos decir con seguridad que la composición es convexa. Tenga en cuenta que necesitamos el hecho de que la norma es no negativo de lo contrario la convexidad de la composición no está garantizada.