¿Comprobación de la holomorficidad de funciones?

Question

Estaba comprobando la Holomorficidad de $f(z) = (z-3)^i$ que lo escribí como $e^{i log(z-3)}$ de modo que $Log(z-3) $ es holomorfa sobre $\Bbb{C}\setminus(-\infty,3)$ así es $(z-3)^i$ . Pero estoy pensando en $f(z) = \frac{\sin(z)}{z^3 + 1}$ y $f(z) = \operatorname{Log}(z-2i+1)$ He pensado en utilizar las ecuaciones de Cauchy Riemann para descartar la holomorfía, es decir, si no satisface la ecuación CR entonces no es holomorfa, pero parece que puede ser complicado de calcular?

EDITAR -

Sólo por curiosidad, pensé en esto - Como $(z-3)^i$ es holomorfa sobre $\Bbb{C}\setminus(-\infty,3)$ entonces, ¿qué podemos decir sobre la naturaleza holomórfica de $i^{z-3}$ ¡¡¡Solo las posiciones intercambiadas!!!

Answer 1

En ambos casos, las funciones son holomorfas porque pueden obtenerse a partir de funciones holomorfas mediante sumas, restas, multiplicaciones, divisiones y composición. Cada una de estas operaciones preserva la holomorfía.

Answer 2

$i^{z-3} = \exp((z-3) \log(i)) $ es holomorfa en todo $\mathbb C$ .