Cómo integrar en coordenadas polares

Question

Evalúa la siguiente integral doble reescribiéndola en coordenadas polares:

$\displaystyle\iint\limits_Dxy\,dA$ donde $D$ es el disco con centro en el origen y radio 5

No sé muy bien cómo hacerlo. Lo más que sé en este momento es lo siguiente:

1. $x=r\cos(\theta)$
2. $y=r\sin(\theta)$
3. $dA=r\,dr\,d\theta$
4. $D=\{(x,y)\mid x^2+y^2\leq 25\}$ o $D=\{(r,\theta)\mid r\leq 5\}$

Se da en el problema que $r=5$ así que es un comienzo. Asumo entonces que mis límites para $r$ es $0\leq r\leq 5$ . Pero no tengo ni idea de cómo definir los límites para $\theta$ . Mi suposición sería $0\leq\theta\leq 2\pi$ pero varios ejemplos con diferentes regiones parecen utilizar $0\leq\theta\leq\pi$ .

Así que aquí está parte de la integral con los límites que faltan en $\theta$ :

$$\int\limits_{\alpha}^{\beta}\int\limits_{0}^{5}r^3\sin{\theta}\cos{\theta}\,dr\,d\theta$$

¿Es correcta mi limitada comprensión hasta ahora? ¿Cómo relleno los huecos de este problema? Sé cómo integrar después de tener los límites adecuados; sólo que no sé cómo definir los límites dada la información que tengo.

Answer 1

Exacto. En cuanto a los límites de $\theta$ :

Imagine el radio de un círculo "barriendo" el límite superior de $\theta$ . (El punto de partida de la mayoría de los problemas es $\theta = 0$ .) Llamaré a este límite superior $\beta$ . Vea estos GIF animados sobre diversos límites superiores:

$\beta = \frac{\pi}{2}$ :

$\beta = \pi$ :

$\beta = 2\pi$ :

Dado que desea que el todo disco de un radio dado, queremos $\beta$ ser $2\pi$ . Es decir, queremos "barrer" todo el círculo.