En la definición de espacio topológico, un espacio topológico $(X,\tau)$ es un par donde $X$ es el conjunto sobre el que se define la topología y $\tau$ es una topología que es un subconjunto de $\mathcal{P}(X)$ definidos con condiciones específicas.
Lo que no entiendo es qué significa exactamente el par $(X,\tau)$ .
¿Qué aspecto tiene un elemento de este "espacio topológico"? ¿Es también un par?
¿Se supone que esto es una tupla, ya que eso es lo que el $(\cdot,\cdot)$ ¿Sugiere?
¿Hay alguna manera de entender esto geométricamente, por ejemplo, qué haría $(\mathbb{R},\tau)$ mira ¿Cómo?
Quiero entender cómo puedo imaginar un espacio topológico.
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Lo que no entiendo es qué significa exactamente el par $(X,\tau)$ .
Par es un par, dos cosas en el orden correcto. Eso es. En serio. Es como si una bicicleta fuera un par de ruedas junto con un esqueleto y otros mecanismos. Por supuesto, en matemáticas el par tiene una definición concreta, pero no es realmente relevante. Lo que importa es que par es una colección ordenada de dos cosas.
Así pues, un espacio topológico es un conjunto junto con alguna estructura adicional, llamada topología. La razón por la que decimos "un espacio topológico es un par $(X,\tau)$ tal que..." se debe a que el espacio topológico depende tanto del conjunto subyacente $X$ y la topología $\tau$ . Es decir, en un conjunto dado $X$ podemos definir múltiples estructuras topológicas diferentes, por ejemplo $\tau=\{\emptyset, X\}$ (topología antidiscreta) y $\tau=P(X)$ (también conocida como topología discreta) son dos cosas diferentes (a menos que $|X|\leq 1$ ) en $X$ .
¿Qué aspecto tiene un elemento de este "espacio topológico"? ¿Es también un par?
Estrictamente, formalmente hablando, nunca hablamos de elementos de un espacio topológico (ya que formalmente cualquier espacio topológico $(X,\tau)$ tiene exactamente dos elementos: $X$ y $\tau$ ). Cuando decimos que $x$ es un elemento de un espacio topológico $(X,\tau)$ entonces lo que típicamente queremos decir es que $x\in X$ es decir, sólo hablamos de elementos del conjunto subyacente.
¿Hay alguna forma de entender esto geométricamente, por ejemplo, qué haría $(\mathbb{R},\tau)$ mira ¿Cómo?
Eso depende de $\tau$ . En $\tau$ es la topología euclidiana, entonces tratamos con la línea euclidiana estándar. Pero hay infinitas topologías no equivalentes $\tau$ en $\mathbb{R}$ . Algunas de ellas son fáciles de entender, como la topología discreta sobre $\mathbb{R}$ hace que cada punto esté aislado. Pero algunos de ellos son bastante abstractos y extraños de entender, por ejemplo, los espacios de alta dimensión (nótese que desde $\mathbb{R}$ es equinumérico con cualquier $\mathbb{R}^n$ entonces para cualquier $n$ podemos definir la topología en $\mathbb{R}$ haciéndolo $n$ -ésima dimensión).
user126154
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Esto no es más que lenguaje matemático común. No se oculta ningún misterio extraño.
Cuando hablas de un "espacio topológico" te refieres sólo a un conjunto $X$ pero sobre la que se da una topología $\tau$ . El hecho de tener una topología en $X$ no cambia el hecho de que $X$ es sólo un conjunto.
Así pues, los elementos de un espacio topológico no son más que sus elementos como conjunto.
Un espacio topológico ES UN CONJUNTO. Dotado de una topología.
Entonces, los matemáticos, cuando tienen que decir que en una fórmula corta, digamos $(X,\tau)$ . Pero cada vez que lees $(X,\tau)$ sea un espacio topológico" se puede sustituir por "sea $X$ sea un conjunto, y sea $\tau$ sea una topología sobre $X$ ". Las dos frases son perfectamente sinónimas.
Alejandro Bergasa Alonso
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Un par no es más que una 2-tupla, es decir, un conjunto ordenado de dos elementos. En topología, la definición de un topológico necesita dos cosas: un conjunto y una topología. Esto significa que la única manera de determinar correctamente un espacio topológico, es necesario determinar ambas cosas, utilizando la notación $(X,\tau)$ . Es importante definirlo como un par, porque el mismo conjunto con dos topologías distintas son dos espacios topológicos distintos; y dos conjuntos distintos con la misma topología son de nuevo dos espacios topológicos completamente distintos.
A pesar de esto, es común ver abusos de notación como nombrar $(X,\tau)$ sólo $X$ pero para ello hay que especificar primero qué $\tau$ que está utilizando, y para sus elementos es simplemente correcto decir $x\in (X,\tau)$ .
asdf
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Un par es similar a un conjunto de dos elementos, con la diferencia de que el orden importa. Un espacio topológico $(X, \tau)$ está definido por un conjunto ( $X$ ) y una topología ( $\tau$ ). Así que necesitamos que ambos aparezcan en alguna parte.
Sin embargo, no desempeñan el mismo papel y no son intercambiables. T $(X, \tau)$ en lugar de $\{X, \tau \}$ . En pocas palabras, como probablemente ya sepas (ya que mencionas las tuplas), si $a \neq b$ entonces:
$\{a,b\} = \{b,a\}$
$(a,b) \neq (b,a)$
Un elemento de un espacio topológico $(X, \tau)$ es sólo un elemento de $X$ . $(\mathbb{R},\tau)$ es sólo $\mathbb{R}$ donde se elige una colección específica de subconjuntos para que sean "conjuntos abiertos". No creo que haya forma de visualizarlos todos a la vez. Pero debemos incluir $\tau$ en la definición porque las propiedades topológicas de $(\mathbb{R}, \tau)$ sólo tienen sentido para esa topología específica $\tau$
