La equivalencia del teorema de los números primos

Question

Estaba leyendo esta pregunta y su respuesta: ¿Cómo esta ecuación implica PNT y planteó una nueva cuestión:

Dado que el $\sum_{n\le x} \Lambda(n)=x+o(x)$, demuestran que, a $$\sum_{n\le x} \frac{\Lambda(n)}{n}=\log x-\gamma +o(1),$$ donde gamma es la constante de Euler.

La pregunta de arriba es para la recompensa. La versión completa de arriba me molesta. Gerry Myerson señaló podemos probar $\sum_{n\leq x } \frac{\Lambda(n)}{n} =\log x +O(1)$ a partir de sólo chebyshev estimación. Pero este no es mi pregunta.

Mis Intentos: he intentado parcial de la suma de terminar con algo como $\sum_{n} \frac{\psi(n)-n}{n^2}$. para que convergen $o(n)$ no es lo suficientemente fuerte. Para hacerlo a mi manera, yo tendría que asumir $$\psi(x)-x = O\left(\frac{x}{(\log x)^{1+\epsilon}}\right)$$ so that it converges. (Otherwise it could be as big as $\log x$, que no es bueno)

Podemos probar el cálculo anterior utilizando sólo la básica primer número teorema $\psi(x)-x=o(x)$? Por qué o por qué no? Gracias!

Por favor, tenga en cuenta que mi pregunta es acerca de una sutileza con la que convergen, y contundente parcial de la suma no parece funcionar.

Answer 1

Hace un par de años, he asignado a algo un poco más débil, $$\sum_{n\le x}{\Lambda(n)\over n}=\log x+r(x){\rm\ with\ }|r(x)|\le2$$, y resultó ser el más difícil problema de la asignación. Aquí está la prueba que, finalmente, escribió.

Deje $s=[x]$. Nota $$\sum_{n\le x}{\Lambda(n)\over n}=\sum_{n\le s}{\Lambda(n)\over n}$$ and $0\le\log x-\log s\lt1$. Ahora

$$\log s!=\sum_{m\le s}\log m=\sum_{p^r\le s}\log p\sum_{m\le s,p^r\mid m}1=\sum_{p^r\le s}\log p[s/p^r]=\sum_{n\le s}\Lambda(n)[s/n]$$

$$=\sum_{n\le s}\Lambda(n)\left({s\over n}-\left\lbrace{s\over n}\right\rbrace\right)=s\sum_{n\le s}{\Lambda(n)\over n}-\sum_{n\le s}\Lambda(n)\left\lbrace{s\over n}\right\rbrace$$

Ahora $$\sum_{n\le s}\Lambda(n)\left\lbrace{s\over n}\right\rbrace\le\sum_{n\le s}\Lambda(n)\le Cs$$ for some constant $C$ by the Prime Number Theorem (which is actually overkill, as one can prove without PNT that that last sum is bounded by $2$ for all $s$). Also, comparing $\log s!=\sum\log n$ to $\int_1^s\log t\,dt$ we get $$\log s!=s\log s-s+b(s){\rm\ with\ }|b(s)|\lt\log s+1$$ (cf. Stirling's formula). Putting it together, $$\sum_{n\le x}{\Lambda(n)\over n}=(1/s)\log s!+(1/s)\sum_{n\le s}\Lambda(n)\left\lbrace{s\over n}\right\rbrace=\log s-1+C+b(s)/s=\log x+r(x)$$ with $|r(x)|\le2$ since $C\le2$.

EDIT: El más fuerte resultado queda demostrado en el libro de texto por Bateman y el Diamante, la Teoría Analítica de números, páginas 100-102. Primero que demostrar que, con las definiciones usuales, $\psi(x)\sim x$ implica $M(x)=o(x)$ donde $M(x)$ es el summatory función de Möbius $\mu$-función. A continuación, a partir del resultado en $M(x)$ que deducir el resultado que usted desea. Es un poco largo para escribir como me gustaría tener que explicar la notación introducida anteriormente en el capítulo.

MÁS EDIT: también la Proposición 3.4.4 de Jameson del libro de texto, El Teorema de los números Primos, y ha demostrado en la página 91 de Tenembaum y Mendes France, Los Números Primos y de Su Distribución, en el Estudiante de Matemáticas de la Biblioteca de la serie de la Americana de Matemáticas de la Sociedad. De nuevo, las pruebas requieren demasiado desarrollado previamente para mí el material para intentar escribirlas aquí.

Answer 2

Si usted agregue $\frac 1n$ a de su $\Lambda(n)$, la estimación de la condición no cambia debido a que $H(x)\sim\log x = o(x)$.

Pero la conclusión deseada cambios por una constante de $\frac{\pi^2}{6}$.

Por lo tanto, su condición no es suficiente para demostrar la conclusión.

Answer 3

Por definición

$$\gamma=\sum_{n\le x}{1\over n}-\log x+o(1).$$

Así que podemos ver que $$\log x +\gamma + o(1)=\sum_{n\le x}{1\over n}.$$

Por lo que es suficiente para mostrar que el $$\sum_{n\le x}{\Lambda(n)-1\over n}=-2\gamma+o(1).$$

A continuación, el uso de Möbius de la inversión en el formulario

$$G(x)=\sum_{n\le x}F\left({x\over n}\right)\iff F(x)=\sum_{n\le x}\mu(n)G\left({x\over n}\right)$$

y la estimación asintótica

$$\sum_{n\le x}\bigg(\log n-d(n)\bigg)=-2\gamma x+O(\sqrt{x})\quad (*)$$

obtenemos el resultado deseado. Nota: vas a terminar usando el PNT en un $\mu$ función de estimación durante el Möbius de la inversión, esta es la forma de utilizar su dado, y la estimación es donde se guarda sobre el uso de la PNT por sí mismo. Como @Phira notas: esto es imposible.

Nota: $(*)$ puede ser demostrado con bastante facilidad utilizando el estándar de suma técnicas, el primer término es $\log[x]!=x\log x -x+O(\log x)$ que es sólo parcial de la suma y el segundo es $x\log x +(2\gamma-1)x+O(\sqrt{x})$ mediante el uso de Dirichlet de la hipérbola método.