¿Es la función $x|x|$ diferenciable en $0$ ?

Question

¿Es la función $x|x|$ diferenciable en $0$ ? He calculado las derivadas izquierda y derecha y ambas son $0$ Así que es diferenciable. ¿Estoy en lo cierto?

Answer 1

En general, si la función $g(x)$ es continua en un punto $x_0$ entonces la función $f(x)=(x-x_0)g(x)$ es diferenciable en $x_0$ porque $f'(x_0)=\lim\limits _{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\lim\limits _{x\to x_0}g(x)=g(x_0).$

En particular $g(x)=|x|, x_0=0$

Answer 2

La función $f(x)=x\left|x\right|$ se define por $\begin{cases} x^{2} & x\geq0\\ -x^{2} & x<0 \end{cases}$ . Si $x\neq0$ entonces la función es cuadrática, por lo que es diferenciable. El único punto del que hay que preocuparse es $0$ . Pero como ambos $x^{2}$ y $-x^{2}$ tienen la misma derivada en $0$ se deduce que $f$ es diferenciable en $0$ .

Answer 3

Sí si la derivada izquierda y la derivada derecha en un punto coinciden entonces la función es derivable en ese punto con esa derivada. Como has identificado (correctamente) que ambas son $0$ entonces se deduce que la función es derivable en $0$ con la derivada $0$ .

La derivada izquierda se define como

$$ f'(a) = \lim_{x\to a^-} {f(x)-f(a)\over x-a}$$

y la derivada derecha se define de forma similar mientras que la derivada se define como

$$ f'(a) = \lim_{x\to a} {f(x)-f(a)\over x-a}$$

Por tanto, si el LD y el RD son iguales, entonces la derivada normal también está definida y es igual. Esto se basa en que si L-límite y R-límite existe y es el mismo entonces el límite se define y el mismo también (que a su vez se deduce directamente de la definición de límites).

Answer 4

En términos más generales: para cualquier $f$ con $|f(x)|\le Ax^2$ : $$f'(0) = \lim_{x\to 0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0} = \lim_{x\to 0}\frac{f(x)}x = 0$$ por el teorema del apretón: $$x\ne 0\implies -A|x|\le\frac{f(x)}x\le A|x|.$$

Answer 5

Sí, tienes razón.

Puede definir la función como $$f(x)=x^2 ;x>0 ~~~-x^2; x<0$$

Es LHD y RHD son ambos $=0$