Teoría de Galois en curvas

Question

Contexto: Sea $\mathbb{F}$ sea el cierre algebraico de $\mathbb{F}_q$ para $q$ de primera. Sabemos que $\mathbb{F}(t)$ para $t$ trascendental es el campo de funciones de la recta proyectiva $\mathbb{P}^{1}(\mathbb{F})$ . Supongamos que $K$ es una extensión normal de $\mathbb{F}(t)$ . Denotemos por $C$ la correspondiente curva proyectiva de $K$ .

¿Qué se entiende por grupo de automorfismos de $C/\mathbb{P}^{1}(\mathbb{F})$ ?

¿Pueden darme referencias bibliográficas sobre el tema Teoría de Galois sobre curvas y mapas de cobertura (algunas palabras clave más: cobertura de Galois, grupos que actúan sobre la fibra de un mapa de cobertura, ramificado, etc.)? Lo más sencillo posible (¡no soy un experto!)

Leí el subcapítulo sobre la hipótesis de Riemann para curvas sobre campos finitos en el libro de C. Moreno (google book link, page 60-61 C. Moreno, Curva sobre campos finitos )

Alguna indicación implícita del autor: En algún otro lugar, el autor evalúa el automorfismo de Frobenius ( $\phi(x):=x^q$ para $x \in K$ ) en puntos de $C$ . RigurosamenteEsto es imposible, es de alguna manera posible, si hacer alguna identificación de $K$ y $C$ ?

Answer 1

En la asombrosa (como la llama Mumford) correspondencia entre álgebra y geometría en la pregunta, una extensión finita $\mathbb F(t)\subset K$ (no necesariamente normal ni separable) corresponde a una curva proyectiva suave y un morfismo finito $\pi:C\to \mathbb P^1_\mathbb F$ .
El grupo de automorfismos de $C/\mathbb P^1_\mathbb F$ es entonces simplemente el grupo de automorfismos $f:C\to C$ desplazamientos con $f$ es decir, tal que $\pi \circ f=\pi$ .
Como comenta Qiaochu, este grupo (de naturaleza muy geométrica) es isomorfo al grupo (de naturaleza muy algebraica) de automorfismos $Aut(K/\mathbb F(t))$ .
(No escriba ese último grupo $Gal(K/\mathbb F(t))$ porque la extensión $\mathbb F(t)\subset K$ no tiene por qué ser Galois)
Y para responder a tu última pregunta: esto no tiene nada que ver con Frobenius.