Series de Dirichlet y expansiones asintóticas: $\tilde{f}(s)= \sum_{n=1}^{\infty} f(n) n^{-s}$

Question

Consideremos la serie de Dirichlet $\tilde{f}(s)= \sum_{n=1}^{\infty} f(n) n^{-s}$ . En la página Regularización de la función zeta

He encontrado una relación entre una expansión asintótica de $\tilde{f}(s)$ y una expansión asintótica de $F(t)=\sum_{n=1}^{\infty}f(n)e^{-tn}$ es decir, si \begin{equation} F(t)=\frac{a_N}{t^N}+\frac{a_{N-1}}{t^{N-1}}+... \end{equation} entonces \begin{equation} \tilde{f}(s)=\frac{a_N}{s-N}+... \end{equation} ¿Es correcto? ¿Dónde podría encontrar un tratamiento riguroso de este tema?

Muchas gracias de antemano por su ayuda.

Answer 1

Sólo algunos datos básicos.

Recordemos la representación integral clásica de la función gamma de Euler $$ \Gamma(s)=\int_0^{+\infty}x^{s-1} e^{-x}dx, \quad \Re s>0, \tag1 $$ entonces por el cambio de variables $x=nt$ donde $n>0$ obtenemos $$ \frac{1}{n^s}\Gamma(s)=\int_0^{+\infty}t^{s-1} e^{-nx}dx \tag2 $$ entonces formalmente $$ \begin{align} \Gamma(s)\tilde{f}(s)&= \sum_{n=1}^{\infty} f(n)\:n^{-s} \Gamma(s) \\\\ &=\sum_{n=1}^{\infty} f(n)\int_0^{+\infty}t^{s-1} e^{-nx}dx \\\\ &=\int_0^{+\infty}t^{s-1} \sum_{n=1}^{\infty} f(n)e^{-nx}dx \\\\ &=\int_0^{+\infty}t^{s-1} F(t)dt, \quad \Re s>0, \tag3\\\\ \end{align} $$ y el intercambio anterior entre la suma y la integral se justificará en el conjunto de convergencia absoluta de la serie de Dirichlet.

Si pones $\displaystyle F(t):=\frac{a_N}{t^N}$ en $(3)$ entonces $$ "\Gamma(s)\tilde{f}(s)=a_N\int_0^{+\infty}t^{s-1} \frac{1}{t^N}dt=\frac{a_N}{s-N} " \tag4 $$ y se puede ver que los polos de $\tilde{f}$ en el plano s corresponden a términos divergentes en la serie de Laurent de su regularización exponencial $F$ .

He aquí una referencia muy interesante para estas consideraciones: Flajolet Sedgewick libro

Espero haberle ayudado.