derivada de segundo orden de log det de matriz

Question

Necesito encontrar la derivada de segundo orden de una matriz.

$f(\pmb{\Delta})=\log \det(\pmb{I}+k\pmb{V^T \Delta V})$

Dónde $ \pmb{\Delta}$ es una matriz triangular.

Hice la derivada de primer orden pero no estoy seguro de si es correcta. $$\frac{\partial f(\pmb{\Delta})}{\partial [\pmb{\Delta}]_{ii}} = \left[ k\pmb{V} \left( \pmb{I}+k\pmb{V^H}\pmb{\Delta}\pmb{V} \right)^{-1}\pmb{V^H} \right]_{ii} $$

¿Esto es correcto? ¿Y la derivada de segundo orden?

Answer 1

Definir las variables matriciales $$\eqalign{ X &= \Delta \cr A &= I + kV^TXV \implies dA &= kV^T\,dX\,V \cr Y &= kVA^{-T}V^T \cr }$$ Escribe la función en términos de estas variables y calcula su diferencial y su gradiente. $$\eqalign{ f &= \log\det A \cr df &= A^{-T}:dA \cr &= A^{-T}:kV^T\,dX\,V \cr &= kVA^{-T}V^T:dX \cr G = \frac{\partial f}{\partial X} &= kVA^{-T}V^T \cr }$$ Repite el proceso para el degradado. $$\eqalign{ dG &= kV\,dA^{-T}\,V^T \cr &= -kVA^{-T}\,dA^T\,A^{-T}V^T \cr &= -k^2VA^{-T}V^T\,dX^T\,VA^{-T}V^T \cr &= -Y\,dX^T\,Y \cr &= -Y{\mathcal E}Y:{\mathcal L}:dX \cr {\mathcal H} = \frac{\partial G}{\partial X} &= -Y{\mathcal E}Y:{\mathcal L} \cr }$$ donde $({\mathcal E},{\mathcal L})$ son tensores de 4º orden cuyos componentes pueden escribirse en términos de deltas de Kronecker $$\eqalign{ {\mathcal E}_{ijkl} &= {\delta}_{ik} \, {\delta}_{jl} \cr {\mathcal L}_{ijkl} &= {\delta}_{il} \, {\delta}_{jk} \cr }$$ Obsérvese que la segunda derivada (también conocida como hessiana) es en sí misma un tensor de 4º orden.

En algunos de los pasos anteriores se utilizaron productos de contracción doble y simple, que pueden expresarse en forma de componentes como $$\eqalign{ {\mathcal B}_{ikln} &= \big(-Y{\mathcal E}Y\big)_{ikln} &= \sum_j\sum_m -Y_{ij}{\mathcal E}_{jklm}Y_{mn} \cr {\mathcal H}_{ijmn} &= \big({\mathcal B}:{\mathcal L}\big)_{ijmn} &= \sum_k\sum_l {\mathcal B}_{ijkl}{\mathcal L}_{klmn} \cr A:X &= \sum_i\sum_j A_{ij}X_{ij} &= {\,\rm Tr}\big(A^TX\big) \cr }$$