¿Por qué se piensa que las variedades abelianas son el caso más difícil para la conjetura de Hodge?

Question

Hoy he oído que la gente piensa que si se puede demostrar la conjetura de Hodge para variedades abelianas, entonces debería ser cierta en general. Al parecer, este caso es lo bastante importante (y difícil) como para que Weil escribiera algunas familias de 4 pliegues abelianos que eran contraejemplos potenciales de la conjetura de Hodge, pero nunca he oído hablar de otro contraejemplo potencial.

En fin, resumiendo:

1) ¿Implica la conjetura de Hodge para variedades abelianas la conjetura de Hodge completa?

2) Si no es así, ¿hay alguna razón intuitiva por la que las variedades abelianas deban ser el caso más difícil?

Answer 1

Yo diría que la respuesta a ambas preguntas es no. De hecho, las variedades abelianas deberían ser un caso "fácil". Por ejemplo, se sabe que para las variedades abelianas (pero no para otras variedades), la conjetura variacional de Hodge implica la conjetura de Hodge. Es desconcertante que no podamos demostrar la conjetura de Hodge ni siquiera para variedades abelianas, ni siquiera para variedades abelianas de tipo CM, y ni siquiera podemos demostrar que las clases de Hodge que Weil describió sean algebraicas. Así que si se demostrara la conjetura de Hodge en un caso interesante, por ejemplo, las variedades abelianas, sería un gran estímulo.

Añadido: Como continuación a la respuesta de Matt Emerton, una prueba de que la conjetura de Hodge para variedades abelianas implica la conjetura de Hodge para todas las variedades (seguramente) también mostraría que el teorema de Deligne (que las clases de Hodge en variedades abelianas son absolutamente Hodge) implica la misma afirmación para todas las variedades. Pero no se conoce tal resultado (y sería extremadamente interesante).

Answer 2

La clase de las variedades abelianas es la clase de variedades más sencilla en la que no se conoce la conjetura de Hodge. Así que, naturalmente, se les dedica un cierto esfuerzo. Sin embargo, no tengo claro que se pueda hacer una reducción obvia de las variedades proyectivas lisas más generales a las variedades abelianas. La razón de mi escepticismo es que las estructuras de Hodge de tales variedades no tienen por qué estar en la categoría tensorial generada por las estructuras de Hodge de las variedades abelianas.

Una última cosa. La conjetura de Hodge es falsa para las variedades compactas de Kaehler, y de hecho ¡para los tori complejos! Véase Voisin, IMRN vol 20 (2002). También hay un ejemplo más antiguo debido a Zucker.

Answer 3

Mi vecina de al lado (en el departamento de matemáticas) es teórica de Hodge, y nunca le he oído decir que las variedades abelianas sean el caso más difícil de la conjetura de Hodge.

Sin embargo, son sin duda un caso "rico" demostrable de la conjetura de Hodge. Mi vecino me dijo una vez que la conjetura de Hodge es presumiblemente cierta "la mayor parte del tiempo" incluso para las variedades compactas de Kahler, porque una variedad genérica de Kahler no tiene suficientes grupos de cohomología no triviales para hacer de la conjetura de Hodge una afirmación interesante. Por otro lado, una variedad abeliana de gran dimensión tiene muchos grupos de cohomología de gran dimensión, y hay muchas familias conocidas de variedades abelianas con grupos de Mumford-Tate suficientemente pequeños para que la conjetura de Hodge no pueda verificarse simplemente intersecando divisores.

Para una breve exposición en torno a la conjetura de Hodge y las variedades abelianas, puede consultar

http://alpha.math.uga.edu/~pete/mtnotes.pdf

Caveat lector: No soy un experto en este tema.

Answer 4

En relación con la respuesta de Jim Milne, se podría mencionar que Deligne demostró que para las variedades abelianas, todos los ciclos de Hodge son "absolutamente Hodge" (es decir, cuando se piensa en ellos incrustados diagonalmente dentro del producto de la cohomología algebraica de de Rham y $\ell$ -cohomología ádica (para cada $\ell$ ) y aplicar un automorfismo de $\mathbb C$ , los ciclos resultantes son de nuevo ciclos racionales diagonalmente embebidos, y de hecho son de nuevo Hodge). Obsérvese que si se cumple la conjetura de Hodge, entonces esto es cierto (ya que el conjugado bajo cualquier automorfismo de $\mathbb C$ de un ciclo algebraico es de nuevo un ciclo algebraico).

Por un lado, esto es mucho más de lo que se sabe sobre la conjetura de Hodge para clases más generales de variedades.

Por otro lado, no se puede extender esto inmediatamente a otras clases de variedades porque los motivos de las variedades abelianas no generan todos los motivos sobre un campo de char. 0 (de hecho, lejos de ello, que yo sepa), un hecho ya mencionado en la respuesta de Donu Arapura.