Evitar el teorema de Minkowski en la teoría algebraica de números.

Question

En cualquier curso de teoría algebraica de números hay que demostrar la finitud del número de clase y también el teorema de la unidad de Dirichlet. La prueba estándar utiliza Teorema de Minkowski . ¿Hay alguna forma de evitarlo?

Las razones por las que formulo esta pregunta son las siguientes.

$1$ . Minkowski vivió mucho después que Dirichlet y Dedekind (sobre todo Dirichlet). Por tanto, no es probable que la demostración original utilizara el teorema de Minkowski como tal. Si la prueba original utilizó el teorema de Minkowski, entonces, por supuesto, lo descubrió otra persona, muy probablemente Dirichlet, y es injusto utilizar el nombre de teorema de Minkowski.

$2$ . Aún más importante, la finitud del número de clase y alguna versión del teorema de la unidad es cierta (al menos eso espero) para todos los campos globales. Y ahí, por supuesto, no se puede hablar del teorema de Minkowski.

La objeción que tengo al teorema de Minkowski es que parece ad hoc, salido de la nada. Y parece que no se está trabajando mucho hoy en día en el tema de la geometría de los números.

Así que estaría muy bien disponer de un método más natural y quizá más general.

Answer 1

En un curso de teoría algebraica de números, se puede demostrar la finitud del grupo de clases sin el teorema de Minkowski. Por ejemplo, si buscas en el libro de Ireland-Rosen encontrarás una prueba que atribuyen a Hurwitz. Da una constante peor (que depende de la elección de $\mathbf Z$ -para el anillo de enteros del campo numérico; cambiando la base se puede reducir la constante, pero sigue siendo generalmente peor que la de Minkowski) pero es computable y se puede utilizar para demostrar, por ejemplo, que $\mathbf Z[\sqrt{-5}]$ tiene la clase número 2.

En cuanto a la historia de la demostración del teorema de la unidad, fue demostrada por Dirichlet utilizando el principio del casillero. Si lo piensas bien, el teorema del cuerpo convexo de Minkowski es una especie de principio del encasillado (cubrir el cuerpo convexo por traslación de un dominio fundamental para la red y buscar un solapamiento). Se puede encontrar una demostración en este sentido en el libro de Koch sobre teoría algebraica de números, publicado por la AMS. Por cierto, el propio Dirichlet demostró el teorema de la unidad para anillos de la forma $\mathbf Z[\alpha]$ el teorema de la unidad es válido tanto para los órdenes como para el anillo completo de los números enteros (piénsese en la ecuación de Pell $x^2 - dy^2 = 1$ y el anillo $\mathbf Z[\sqrt{d}]$ que no tienen por qué ser los números enteros de $\mathbf Q(\sqrt{d})$ ), aunque algunos libros sólo se centran en el caso de un anillo completo de números enteros. Dirichlet no tenía la concepción general de un anillo completo de enteros.

Un resultado que Minkowski pudo demostrar con su teorema del cuerpo convexo que había no anteriormente resuelta mediante otras técnicas era la conjetura de Kronecker (basada en la analogía entre los campos numéricos y las superficies de Riemann, con $\mathbf Q$ siendo como la línea proyectiva sobre $\mathbf C$ ) que todo campo numérico distinto de $\mathbf Q$ se ramifica en algún primo.

Answer 2

Al final todo lo que necesitas es el principio del encasillamiento. El teorema de Minkowski no es más que un perfeccionamiento del mismo. Si quieres una prueba uniforme para campos de números y campos de funciones tanto para el teorema de la unidad como para la finitud del número de clase que utilice sólo el principio de casillero y que probablemente se acerque a los originales, consulta:

Caracterización axiomática de campos mediante la fórmula del producto para valoraciones E. Artin y G. Whaples, Bull. AMS 51 (1945) 469-492.

Answer 3

Quizá le interese leer las primeras partes de Teoría básica de números por A. Weil. Weil muestra cómo hacer todas estas pruebas de una manera muy limpia que es uniforme entre el campo de números y el caso del campo de funciones; sus pruebas se basan todas en la compacidad local.

Sin embargo, no creo que las pruebas de Weil sean moralmente diferentes de las estándar. En mi experiencia, tal vez limitada, todas las pruebas de estos resultados se basan en el principio de encasillamiento (incluida la extensión de que, en un espacio de medida de medida $1$ dos conjuntos abiertos cualesquiera cuya medida sume más de $1$ debe cumplir).

Como advertencia, recuerde que estos resultados son falsos para campos de función sobre $\mathbb{C}$ . Si $X$ es una curva algebraica afín sobre $\mathbb{C}$ con género positivo, entonces el grupo de clase de $\mathcal{O}_X$ es infinito y el grupo unitario puede tener un rango menor que el número de pinchazos menos $1$ .

Answer 4

Sí, hay una forma de obtener la finitud del número de clase, así como el teorema de la unidad S, evitando utilizar explícitamente el teorema de Minkowski. Sin embargo, no te da la finitud de Minkowski. La idea es realizar el trabajo del teorema de Minkowski sobre cuerpos convexos en el anillo adele de tu campo numérico en lugar de en $\mathbb{R}^{r_1+2r_2}$ . Básicamente se demuestra lo que Brian Conrad llama un "lema de Minkowski" que implica la medida de Haar de subconjuntos del anillo de Adele. Usando esto, se puede demostrar la compacidad del grupo $\mathbb{J}_K^1/K^\times$ donde $\mathbb{J}_K^1$ es el núcleo de la norma idélica continua y $K^\times$ es la imagen discreta diagonalmente incrustada de $K^\times$ en el grupo de los ídolos. El teorema de la unidad S y la finitud del número de clase son consecuencias directas de este resultado de compacidad. Se puede encontrar una demostración en este sentido en Cassels y Frohlich. La finitud del número de clase es más fácil, y proviene de un homomorfismo natural suryectivo y continuo del grupo de ídolos al grupo de clases ideales (al grupo de clases ideales se le da la topología discreta); se demuestra que esto da un mapa suryectivo continuo desde un cociente de $\mathbb{J}_K^1/K^\times$ y se obtiene que el grupo ideal de clase es compacto y discreto, por tanto finito. Tom Weston solía tener un artículo sobre este tema en su página web que me gustó mucho, pero no estoy seguro de si sigue ahí.