Ecuación de Laplace en geometría de rectángulos

Question

Consideremos la ecuación de Laplace en un rectángulo de longitud y anchura a y b respectivamente, con las siguientes condiciones de contorno: Todas las fronteras con $x < a/2$ tienen la condición de contorno de Drichlet con $U=0$ y todos los límites con $x>a/2$ tienen la condición de contorno de Drichlet con $U=V_0$ (donde $V_0$ es una constante).

¿Existe una solución (U(x,y)) en forma simple?

¿Existe una solución a lo largo de una línea en medio del rectángulo (U(x,y=b/2)) en forma simple?

$$\nabla^2U=0$$

Answer 1

La simetría dicta que la solución debe satisfacer $u(a/2,y)=V_0/2$ para $0<y<b$ . Así, en primer lugar, consideramos el problema $$\Delta u=0, \: u(0,y)=u(x,0)=u(x,b)=0, \text{ and } u(a/2,y)=V_0/2.$$ Este problema puede resolverse por separación de variables y series de Fourier; obtenemos $$u(x,y) = \frac{1}{2} V_0 \sum _{n=0}^{\infty } \frac{4 \, \text{csch}\left(\frac{(2 n+1) \pi a}{2 b}\right) \sin \left(\frac{(2 n+1) \pi y}{b}\right) \sinh \left(\frac{(2 n+1) \pi x}{b}\right)}{(2 n+1) \pi }.$$ Obsérvese que es muy fácil ver que $u$ es armónico y se cumplen las 3 condiciones de contorno nulas. Los coeficientes se eligen para satisfacer la condición de contorno restante.

Con esta parte en la mano, podemos definir $$u(x,y) = V_0-u(a-x,y)$$ para $a/2<x\leq a$ . Para $a=8$ , $b=5$ y $V_0=2$ la solución es la siguiente