Tarea de un examen:
Dado es el espacio vectorial real donde $a \in \mathbb{R}$ es fijo:
$V = \left\{ f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}: f(x) = \lambda_{1}e^{x}\sin(ax)+ \lambda_{2}e^{x}\cos(ax) \text{ for } x \in \mathbb{R}, \lambda_{1}, \lambda_{2} \in \mathbb{R} \right\}$
con la base $A=(f_{1},f_{2})$ por la que $\text{ }$ $\text{ }$$ f_{1}(x)=e^{x}\sin(ax), \text{ } \text{ }f_{2}(x)= e^{x}\cos(ax)$.
Y como cada elemento de este espacio vectorial se caracteriza por un par ordenado $(\lambda_{1}, \lambda_{2}) \in \mathbb{R}^{2}$ de coeficientes, con asignación $f=\lambda_{1}f_{1}+\lambda_{2}f_{2} \mapsto (\lambda_{1}, \lambda_{2})$ toda cartografía lineal de $V$ en $V$ puede considerarse $2\times 2$ matriz.
Sea $L: V \rightarrow V$ sea el mapeo lineal que asigna a cada función $f \in V$ su derivado $f' \in V$ a $x$ .
Para lo cual $a \in \mathbb{R}$ es la función/mapeo $L$ ¿invertible?
No estoy seguro de cómo hacerlo. Pero lo he intentado:
$$f(x)=\lambda_{1}e^x \sin(ax)+ \lambda_{2}e^x \cos(ax)$$
$$f'(x)= \lambda_{1}e^x \sin(ax)+ \lambda_{1}a \cos(ax)+ \lambda_{2}e^x \cos(ax) - \lambda_{2}e^xa \sin(ax)$$
y según entendí de la tarea este derivado sería $L$ .
Pero, ¿qué hacemos ahora? Realmente no tengo ni idea de cómo continuar :s
