Problema GCD y LCM

Question

Sea $x$ et $y$ sean números enteros positivos, $x < y$ y $x + y = 667$ . Encontrar todos los pares $(x,y)$ si $\text{lcm}\,(x,y)/\gcd\,(x,y) = 120$ . Este problema era de mis deberes de teoría de números, y no lo entiendo. ¿Alguna sugerencia?

Answer 1

Sea $d=\gcd(x,y)$ . Entonces $d$ divide $667=23\times29$ así que $d$ et $s=(x+y)/d$ están en el conjunto $\{1,23,29,667\}$ .

Por otro lado, $d\,\text{lcm}(x,y)=xy$ Así que $$p=\frac xd\frac yd=\frac{\text{lcm}(x,y)}d=120$$

Entonces, $x/d$ et $y/d$ son las raíces del polinomio $$X^2-sX+120$$ Por lo tanto, el discriminante $s^2-480$ es un cuadrado perfecto. Esto excluye $s=1$ . Además, $23^2-480=49=7^2$ , $29^2-480=361=19^2$ et $667^2-666^2=1333>480$ Así que $667^2-480$ no es un cuadrado perfecto.

Si $s=23$ entonces $d=29$ y las raíces del poynomio son $8$ et $15$ . Esto da $x=232$ , $y=435$ .

Si $s=29$ entonces $d=23$ y las raíces son $5$ et $24$ . Ahora, $x=115$ et $y=552$ .

Answer 2

$\gcd(x,y) = d\mid667$ así que $d = 1, 23,$ o $29$ . Sea $x = da, y = db, \gcd(a,b) = 1$ . Entonces $\frac{\operatorname{lcm}(x,y)}{\gcd(x,y)} = ab = 120$ . Entonces $(a,b) = (1,120); (2,60), \cdots, (10, 12)$ .

A continuación, compruebe el par que satisface $a+b = 23,29,$ o $667$ .

Answer 3

Esta es la respuesta de ajotatxe desde otro punto de vista.

Sea $g = \gcd(x,y)$ y que $X = \dfrac xg$ et $Y = \dfrac yg$ Entonces

$\qquad X$ et $Y$ son números enteros
$\qquad X < Y$
$\qquad \gcd(X,Y) = 1$
$\qquad \operatorname{lcm}(X,Y) = XY$
$\qquad \gcd(x,y) = g = g\gcd(X,Y)$ .
$\qquad \operatorname{lcm}(x,y) = \dfrac{xy}{g} = gXY = g \operatorname{lcm}(X,Y)$

Así que

\begin{align} \dfrac{\operatorname{lcm}(x,y)}{\gcd(x,y)} &= 120 \\ \dfrac{\operatorname{lcm}(X,Y)}{\gcd(X,Y)} &= 120 \\ XY &= 120 \\ \end{align}

Teniendo en cuenta que $\gcd(X,Y)=1$ nuestras opciones son

$(X,Y) \in \{(1,120), (3,40), (5,24), (8,15) \}$

que se traduce en

$(x,y) \in \{(1g,120g), (3g,40g), (5g,24g), (8g,15g) \}$

donde todavía tenemos que averiguar qué $g$ es.

Desde entonces, $x+y = 667$ y los factores de $667$ son $\{1, 23, 29, 667 \}$

Observamos que

$5g+24g = 29g$ implica $g = 23$

et

$8g + 15g = 23g$ implica $g = 29$

Así que $(x,y) \in \{23(5,24), 29(8,15) \} = \{ (115,552), (232, 435) \}$ .