¿Cómo reparametrizar con respecto a la longitud de arco?

Question

En la parte (a), he calculado que s(t) = $\int_0^t \! (\frac{t^2}{2} + 2t) \, \mathrm{d}t$ = $t^2/2 + 2t$

No sé cómo resolver la parte (b). Mi intento es:

$t^2/2 + 2t$ = s $\iff$ t = -2 $\pm$ $\sqrt{2s+4}$

r(s) = r(t(s)) = {2(-2 $\pm$ $\sqrt{2s+4}$ ), $\frac{4}{3}$ (-2 $\pm$ $\sqrt{2s+4}$ )^(3/2), 0.5 $\sqrt{2s+4})^2$ }

Answer 1

Observe que incluso después de editar su solución para $(a)$ es sólo casi correcta. En primer lugar, se le pide que encuentre la longitud de toda la curva, en segundo lugar el integrando es incorrecto (el resultado final coincide con lo que he encontrado, por lo que esto podría ser sólo un error tipográfico ahora que ha mejorado su respuesta). Debo mencionar que es aconsejable utilizar nombres diferentes para las variables de integración y los extremos de la integración.

Por parte $(b)$ hay que elegir la solución que sea positiva (obsérvese que $\textbf r$ se define en $[0,4]$ por lo que sólo puede evaluarse cuando $s$ es positivo).

La siguiente solución fue escrita para abordar la cuestión antes de la edición.

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La fórmula para la longitud de la curva paramétrica a $C$ es $$\int_a^b|\textbf{r}'(t)|\,dt, \tag 1$$ donde $[a,b]$ es el intervalo de definición de la parametrización $\textbf r$ . (en nuestro caso $a = 0$ et $b = 4$ ).

Lo primero que hay que hacer es calcular $\textbf{r}'(t)$ . Recordemos que esto puede lograrse diferenciando cada componente: $$\textbf r'(t) = \left[ \begin{array}{cc|c} 2\\ 2\sqrt t\\ t \end{array} \right].$$

A continuación vamos a calcular $|\textbf{r}'|$ : $$|\textbf{r}'(t)| = \sqrt{2^2 + (2\sqrt t)^2 + t^2} = \sqrt{4 + 4t + t^2} = t + 2.$$ Por último, podemos introducir esto en $(1)$ para encontrar la longitud de $C$ : $$L = \int_0^4 2 + t\, dt = 16.$$

Para resolver parte $(b)$ necesitaremos la fórmula para la longitud de arco, que es $$s(t) = \int_0^t|\textbf{r}'(\tau)|\,d\tau = \int_0^t 2 + \tau\, d\tau = \frac{1}{2}t^2 + 2t.$$ Nos interesa encontrar $t$ en términos de $s$ por lo que tenemos que resolver la ecuación de segundo orden $$\frac{1}{2}t^2 + 2t - s = 0.$$ Esto tiene dos soluciones, descartamos la negativa y nos quedamos con $$t(s) = \sqrt{2s + 4} - 2.$$ Entonces $$\textbf r(s) = \left[ \begin{array}{cc|c} 2\sqrt{2s + 4} - 2\\ \frac{4}{3}(\sqrt{2s + 4} - 2)^{\frac 32}\\ \frac 12(\sqrt{2s + 4} - 2)^2 \end{array} \right].$$ Se trata de una representación paramétrica de la curva $C$ con respecto a la longitud del arco.