Demostrando que $\varnothing$ está en un álgebra de subconjuntos de $X$

Question

Esto se basa en Yeh Análisis Real: Teoría de la medida y de la integración 3ª ed.

Definición 1.1 . Sea $X$ sea un conjunto arbitrario. Una colección $\mathcal{A}$ de subconjuntos de $X$ se denomina álgebra de subconjuntos de $X$ si cumple las siguientes condiciones:

$1^{\circ}\text{ }X \in \mathcal{A}$

$2^{\circ}\text{ }A \in \mathcal{A} \implies A^c \in \mathcal{A}$

$3^{\circ}\text{ }A, B \in \mathcal{A} \implies A \cup B \in \mathcal{A}$

Lema 1.2.1 . Si $\mathcal{A}$ es un álgebra de subconjuntos de un conjunto $X$ entonces $\varnothing \in \mathcal{A}$ .

Yeh dice que este lema se deduce de $1^{\circ}$ et $2^{\circ}$ arriba. La única forma en que puedo ver que esto funcione es si $X$ es un conjunto universal que satisface $X^{c} = \varnothing$ . ¿Es esto correcto o no lo entiendo?

Además, esto me hace preguntarme si se supone que los complementos son relativos a $X$ (aunque no puedo encontrar esto en el libro de texto) - es decir, para cualquier $A \in \mathcal{A}$ , $A^c = X \setminus A$ ...

Answer 1

Tienes razón.

Trabajar en el universo $X$ es por definición que $A^{\complement}=X-A$ (de ahí $X^{\complement}=\varnothing$ ).

Sólo trabajamos con complementos si existe un conjunto universal evidente.