Tienes un círculo de cierto radio $r$ .
Quiero poner un número de puntos en cualquiera de los semicírculos. Sin embargo, sin dos puntos puede estar más cerca que $r$ .
Los puntos pueden colocarse en cualquier lugar dentro del semicírculo, en la línea recta, dentro del área o en la circunferencia. No hay ninguna relación entre los puntos de los dos semicírculos. Pero como puedes ver, al final serán iguales.
¿Cómo encuentro el número máximo de puntos que se pueden poner dentro del semicírculo?
La respuesta es cinco puntos. Se pueden conseguir cinco puntos colocando uno en el centro del círculo grande y otros cuatro igualmente espaciados alrededor de la circunferencia de un semicírculo (los puntos rojos en la imagen de abajo). Para demostrar que seis puntos es imposible, considere discos de radio $s$ sobre cada uno de esos cinco puntos, donde $r/\sqrt3 < s < r$ . Estos cinco discos más pequeños cubren completamente el semidisco grande; por tanto, para seis puntos cualesquiera del semidisco grande, al menos dos de ellos deben encontrarse en el mismo disco más pequeño. Pero entonces esos dos puntos están más cerca que $r$ entre sí.
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