Demostrar que las formas sin sentido y con sentido de la relación bien dentro coinciden

Question

En Espacios de piedra de Johnstone, se da una versión sin sentido de la orden bien dentro:

Definición 1. Sea $L$ sea una localidad y $x, y \in L$ . $x$ se dice bien dentro $y$ si \begin{equation*} x \eqslantless y \quad:=\quad \exists z \in L.\; x \wedge z = \bot \;\text{and}\; y \vee z = \top. \end{equation*}

Mi interpretación de Johstone es que se trata de una manifestación sin sentido de la siguiente relación que podemos definir en espacios topológicos (como señala Johnstone en la pg. 80 de Espacios de piedra ).

Definición 2. Sea $X$ sea un espacio topológico y sea $U, V \in \Omega(X)$ . $U$ está bien dentro $V$ si $\mathsf{Clos}(U) \subseteq V$ (donde $\mathsf{Clos}$ denota el cierre habitual de un conjunto).

Proposición. Sea $X$ sea un espacio topológico y sea $U, V \in \Omega(X)$ . $U$ está bien dentro $V$ (según la definición 2) si $U \eqslantless V$ con respecto a la configuración regional $\Omega(X)$ de conjuntos abiertos de $X$ (Definición 1).

Johnstone afirma que esto es consecuencia directa del hecho de que $x \eqslantless y$ si $\neg x \vee y = \top$ en cualquier álgebra de Heyting y que $\neg U$ es el interior del complemento de $U$ . No entiendo esto y la validez de esta proposición no es evidente para mí. ¿Alguien puede aportar una prueba de esta afirmación?

Answer 1

Supongamos que $U$ está bien dentro $V$ según la definición 2. Sea $W = X\setminus\text{Clos}(U)$ el complemento del cierre de $U$ . Tenemos $U\subseteq \text{Clos}(U)\subseteq V$ Así que $\emptyset \subseteq U\cap W \subseteq \text{Clos}(U) \cap W = \emptyset$ y $X\supseteq V\cup W \supseteq \text{Clos}(U)\cup W = X$ . Así $U$ está bien dentro $V$ según la definición 1.

Por el contrario, supongamos $U$ está bien dentro $V$ según la definición 1. Entonces existe un conjunto abierto $W$ tal que $U\cap W = \emptyset$ y $V\cup W = X$ . Sea $C = X\setminus W$ y observe que $C$ está cerrado. Dado que $U\cap W = \emptyset$ y $V\cup W = X$ tenemos $U\subseteq C\subseteq V$ . Desde $C$ es un conjunto cerrado que contiene $U$ , $\text{Clos}(U)\subseteq C\subseteq V$ Así que $U$ está bien dentro $V$ según la definición 2.

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Era una prueba directa, aunque vale la pena entender el comentario de Johnstone. Se descompone en las siguientes piezas:

1. En cualquier álgebra de Heyting (y por tanto en cualquier localidad), $x$ está bien dentro $y$ (Definición 1) si y sólo si $\lnot x\vee y = \top$ .
2. En la localidad de los conjuntos abiertos en un espacio topológico, $\lnot U$ es el interior del complemento de $U$ (que es igual al complemento del cierre de $U$ ).
3. Así, $U$ está bien dentro $V$ según la definición 1 si $\lnot U \cup V = X$ si $\text{Clos}(U)\subseteq V$ si $U$ está bien dentro $V$ según la definición 2.

Los dos primeros puntos son hechos bastante importantes -que merece la pena dedicar algún tiempo a interiorizar si aún no lo has hecho- y el tercer punto es una comprobación fácil.