Determinación de la función de sistema de un filtro digital

Question

Estoy estudiando para los exámenes y necesito ayuda con una pregunta que he encontrado en un libro de texto.

Dado un filtro digital $$y_n = a(x_{n-1} + x_{n+1}) + bx_n$$ hallar la función del sistema de este filtro y la ubicación de sus polos y ceros.

Esto es lo que he hecho para encontrar la función del sistema: $$Y(z) = a(X(z)z^{-1} + X(z)z) + bX(z)$$ $$H(z) = Y(z)/X(x)$$ así que $$H(z) = a(z^{-1} + z) + b$$

Como el denominador es uno, el polo debe estar en el origen, pero ¿cómo encuentro los ceros? ¿Y es correcta mi solución para la función del sistema?

La ayuda es muy apreciada, gracias.

Answer 1

En realidad, el denominador es no uno. Piense en el término \$z^{-1} = \frac{1}{z}\$ . Ante esto tenemos que reinterpretar \$H(z)\$ :

$$H(z) = a \left(\frac{1}{z} + z\right) + b = a \left(\frac{1 + z^2}{z}\right) + b\frac{z}{z}$$

Ahora que todos estos términos tienen un denominador común hemos encontrado una función de transferencia bien formada:

$$H(z) = \frac{az^2 + bz + a}{z}$$

A partir de aquí podemos encontrar los polos poniendo el denominador igual a cero, vemos rápidamente que el polo está en el origen ( \$z=0\$ ). (Nota: un denominador de 1 no significa que haya un polo en el origen, sino que no hay polos). Para hallar los ceros igualamos el numerador a cero y resolvemos para \$z\$ .

$$az^2 +bz +a = 0$$

Usando la ecuación cuadrática da los ceros como:

$$z_{1,2}= \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4a^2}}{2a}$$