¡Cualquier ayuda sería apreciada!
Demuestra que:
$$(1+x)^n>\frac{n(n-1)}{2}x^2$$
para todo x>0
Tomando $$x=\sqrt{\frac{2}{n-1}}$$ demuestra que $$(\sqrt[n]{n}-1)^2<\frac{2}{n-1}$$
Por lo tanto encuentra $$\lim_{n\rightarrow\infty} \sqrt[n]{n}$$
¡Gracias de antemano!
Lo que intenté hasta que me quedé atascado:
LHS > $$(n-1)(n-2)(x^{n-2}+x^2) \div 2$$
RHS = $$n(n-1)x^2 \div 2$$
Observa que $$ (1+x)^n = \sum_{k=1}^n\binom{n}{k}x^k $$ Ahora simplemente cancela cada término de la suma excepto el que corresponde a $k=2$.
Quieres demostrar que $s_n:=\sqrt[n]n-1$ converge a cero (lo cual responderá tu pregunta). Observa que $(1+s_n)^n=n$ y aplica la estimación. Puedo ayudarte con las partes restantes si es necesario.
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