¿Son hopfianos los grupos fundamentales de las variedades asféricas?

Question

Un grupo $G$ es Hopfian si cada epimorfismo $G\to G$ es un isomorfismo. Una variedad lisa es asférica si su cubierta universal es contractible. ¿Son hopfianos todos los grupos fundamentales de las variedades lisas cerradas asféricas?

Quizá la estructura del múltiple sea irrelevante y dificulte la construcción de ejemplos, por lo que he aquí otra variante que puede ser más sensata. Sea $X$ sea un complejo CW finito que es $K(\pi,1)$ . Si ayuda, supongamos que su homología superior no es trivial. Es $\pi=\pi_1(X)$ ¿Hopfian?

Motivación. Hace tiempo demostré un teorema que es completamente inútil pero suena muy bonito: si una variedad $M$ tiene cierta propiedad de homotopía, entonces el volumen riemanniano, como función de una métrica riemanniana sobre $M$ es semicontinuo inferior en la topología de Gromov-Hausdorff. (Y antes de que te rías de esta conclusión, permíteme mencionar que falla para $M=S^3$ .)

La propiedad de homotopía requerida es la siguiente: todo mapa continuo $f:M\to M$ que induce un epimorfismo del grupo fundamental tiene grado (geométrico) distinto de cero.

Esto no suena tan bien, e intenté demostrar que algunas clases conocidas de variedades lo satisfacen. Mi mayor esperanza era que todas esencial (como en la obra de Gromov "Filling Riemannian manifolds") sí lo hacen. No pude demostrarlo ni refutarlo y la mejor aproximación fue que teniendo un mapa de grado distinto de cero $M\to T^n$ o $M\to RP^n$ es suficiente. Nunca volví a plantearme el problema, pero sigue interesándome.

Una respuesta afirmativa a la pregunta del título resolvería el problema de los colectores asféricos. Una negativa no, y en este caso la siguiente pregunta puede ayudar (aunque probablemente sea estúpida porque no sé nada del tema):

Pregunta 2. Sea $G$ sea un grupo finitamente presentado y $f:G\to G$ un epimorfismo. Es cierto que $f$ induce un epimorfismo en (co)homología (sobre $\mathbb Z$ , $\mathbb Q$ o $\mathbb Z/2$ )?

Answer 1

El grupo Baumslag-Solitar $B(2,3)=\langle a,b\vert ba^2b^{-1}=a^3\rangle$ no es Hopfiano. Pero tiene una $K(\pi,1)$ dada por el doble cilindro cartográfico de $S^1 \rightrightarrows S^1$ donde están los mapas $z\mapsto z^2$ y $z\mapsto z^3$ . Se trata de un complejo CW finito.

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Edición: El doble cilindro cartográfico puede construirse así. Tome un círculo $S^1$ y un cilindro $S^1\times I$ . Pega un extremo del cilindro al círculo por el mapa de grado 2 $z\mapsto z^2$ y pega el otro extremo del cilindro al círculo por el mapa de grado 3 $z\mapsto z^3$ . En $a$ en la presentación anterior es el bucle alrededor del círculo, mientras que el $b$ es el bucle que recorre el cilindro (cuyos extremos se han juntado, formando un bucle).

Para ver que se trata de un $K(\pi,1)$ , puede comprobar que su cubierta universal es el producto $T_5\times \mathbb{R}$ del infinito $5$ -árbol regular $T_5$ con la línea $\mathbb{R}$ . (Piensa en el aspecto local de este complejo CW: lejos del círculo donde hemos pegado todo, es localmente un $2$ -manifold. En el círculo, tenemos $2+3=5$ semiplanos que se encuentran a lo largo de sus bordes). Hay una foto de esta cubierta universal en la página 3 de Farb-Mosher, " Un teorema de rigidez para los grupos solubles Baumslag-Solitar ", Inventiones 131 2 (1998), 419-451.

Answer 2

Un par de observaciones sobre esta cuestión:

Es cierto para las variedades asféricas cerradas de dim $\leq 3$ ya que tienen grupo fundamental residualmente finito.

Si uno pudiera encontrar un asférico 4-manifold $W$ con límite, tal que $\pi_1 W$ no es hopfiano, y un mapa de grado >1 $f:W\to W$ que induce una autocubierta $f: \partial W \to \partial W$ , entonces uno podría ser capaz de utilizar un truco de reflexión de Davis para encontrar un cerrado asférica cerrada con la misma propiedad. Puesto que existen 3-manifolds que no son co-Hopfian (de hecho, que son cubiertas finito-hoja de sí mismos), este enfoque podría funcionar.

Intenté este enfoque engrosando el complejo de presentación del grupo Baumslag-Solitar a un 4-manifold con frontera, pero la frontera no era co-Hopfian, así que no pude conseguir que el auto-mapa del 2-esqueleto se extendiera.

Answer 3

Sólo quiero señalar que los espacios/manifolds hopfianos se estudian en topología, por ejemplo, más abajo hay una reseña en mathscinet (escrita por Ross Geoghegan) del artículo de Hausmann "Geometric Hopfian and non-Hopfian situations":

"Let $M$ sea una zona lisa orientada cerrada $n$ -y que $f:M\to M$ sea un mapa de grado $d$ . El autor aborda la conjetura de Hopf de que si $d=1$ o $d=-1$ entonces $f$ es una equivalencia homotópica. Demuestra la conjetura para el caso en que $M$ tiene grupo fundamental virtualmente nilpotente. También da respuestas parciales a cuestiones relacionadas. Ejemplo: Para cualquier $d$ no es $1$ o $-1$ y cualquier $n\ge 6$ existe $M$ y $f$ como en el caso anterior, de forma que $f$ induce un epimorfismo con núcleo no trivial en los grupos fundamentales".