Mi pregunta, en su forma más general, es la siguiente:
Dado un haz de fibras $F\rightarrow E\rightarrow B$ ¿cuándo existe un haz de fibras $B\rightarrow E\rightarrow F$ ?
Aquí, F, E y B pueden estar en cualquier categoría que desee, pero estoy principalmente interesado en el caso en que los 3 son suaves colectores cerrados.
Ahora, me doy cuenta de que la respuesta inicial es "a menos que E sea un producto, esencialmente nunca", así que aquí va una pregunta más centrada (con antecedentes).
He estado estudiando una cierta clase de acciones libres del 3-toro $T^3$ en $S^3\times S^3\times S^3 = (S^3)^3$ . Para cada una de estas acciones, mediante el cociente por varios subtori, puedo demostrar que el espacio orbital $E=(S^3)^3/T^3$ encaja simultáneamente en 2 haces de fibras:
$$S^2\rightarrow E \rightarrow S^2\times S^2$$ y $$S^2\times S^2\rightarrow E\rightarrow S^2$$ donde el grupo estructural de ambos haces es $S^1$ .
(De hecho, la clase de acciones también da lugar a ejemplos en los que o bien $S^2\times S^2$ puede sustituirse independientemente por $\mathbb{C}P^2\sharp -\mathbb{C}P^2$ la única no trivial $S^2$ haz sobre $S^2$ .)
Calculando clases características para (el haz tangente a) E, sé que para una subcase infinita de las acciones que estoy mirando, E no es homotópicamente equivalente a $S^2\times S^2\times S^2$ y cada una de las E son no separables.
Sospecho que la razón por la que pude encontrar tantos E que encajan en haces de fibras "reversibles" está muy relacionada con el hecho de que la fibra y la base estén tan estrechamente relacionadas.
Y así, pregunto
Para una variedad fija M, ¿cuál es la relación entre los haces $X\rightarrow E\rightarrow M$ y $M\rightarrow E'\rightarrow X$ donde $X$ es algo $M$ haz sobre $M$ ?
Y por si acaso no existe una relación general,
¿Hay alguna razón por la que debería haber esperado que hubiera una relación en mis ejemplos, aunque en general no la haya?
